Постройте графики функции у=2/х и у=-х+3 и укажите координаты точек пересечения этих графиков

Чтобы построить графики функций ( y = \frac{2}{x} ) и ( y = -x + 3 ), а также найти их точки пересечения, давайте разберём каждую функцию и посмотрим, как они взаимодействуют.

График функции ( y = \frac{2}{x} )

1. Форма графика: Это гипербола. Функция имеет вертикальную асимптоту при ( x = 0 ) и горизонтальную асимптоту при ( y = 0 ).
2. Построение графика:
   • Для ( x > 0 ), ( y ) положительно и уменьшается при увеличении ( x ).
   • Для ( x < 0 ), ( y ) отрицательно и уменьшается по модулю при уменьшении ( x ).
3. Примеры точек:
   • ( x = 1 ), ( y = 2 )
   • ( x = -1 ), ( y = -2 )
   • ( x = 2 ), ( y = 1 )
   • ( x = -2 ), ( y = -1 )

График функции ( y = -x + 3 )

1. Форма графика: Это прямая линия с наклоном (-1) и пересечением оси ( y ) в точке ( 3 ).
2. Построение графика:
   • Пересекает ось ( y ) в точке ((0, 3)).
   • Пересекает ось ( x ) в точке ((3, 0)).
3. Примеры точек:
   • ( x = 0 ), ( y = 3 )
   • ( x = 3 ), ( y = 0 )
   • ( x = 1 ), ( y = 2 )
   • ( x = 2 ), ( y = 1 )

Поиск точек пересечения

Чтобы найти точки пересечения, решим уравнение:

[ \frac{2}{x} = -x + 3 ]

Умножим обе части на ( x ) (учитывая, что ( x \neq 0 )):

[ 2 = -x^2 + 3x ]

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

[ x^2 - 3x + 2 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ (x - 1)(x - 2) = 0 ]

Решения:

[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 2 ]

Теперь найдём ( y ) для каждого значения ( x ):

1. ( x = 1 ): [ y = -1 + 3 = 2 ] Точка пересечения: ( (1, 2) )

2. ( x = 2 ): [ y = -2 + 3 = 1 ] Точка пересечения: ( (2, 1) )

Вывод

Графики функций ( y = \frac{2}{x} ) и ( y = -x + 3 ) пересекаются в точках ( (1, 2) ) и ( (2, 1) ).

Для построения графиков функций y=2/x и y=-x+3 необходимо сначала найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения и найдем значение x:

2/x = -x + 3 2 = -x^2 + 3x x^2 - 3x + 2 = 0

Решив квадратное уравнение, получим два корня: x=1 и x=2. Теперь найдем соответствующие значения y:

Подставляя x=1 в у=2/x и y=-x+3, получаем y=2 и y=2. Подставляя x=2 в у=2/x и y=-x+3, получаем y=1 и y=1.

Таким образом, точки пересечения графиков функций y=2/x и y=-x+3 имеют координаты (1,2) и (2,1).

Далее построим графики каждой функции на координатной плоскости и найдем точки их пересечения.

Графики функций y=2/x и y=-x+3 пересекаются в точке (2,1)