постройте график функции y=x^2+4x+2 найдите по графику а) нули функции
б) промежутки в которых y0
в)промежутки убывания и возрастания функции
Г)наименьшее ее значение
постройте график функции y=x^2+4x+2 найдите по графику а) нули функции
б) промежутки в которых y0
в)промежутки убывания и возрастания функции
Г)наименьшее ее значение
Для построения графика функции (y = x^2 + 4x + 2) и анализа его свойств, начнем с выяснения основных характеристик этой квадратичной функции. Функция имеет вид (y = ax^2 + bx + c), где (a = 1), (b = 4), и (c = 2). Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент (a) положителен.
Вершина параболы находится в точке (x = -\frac{b}{2a}). Подставим значения: [ x = -\frac{4}{2 \times 1} = -2 ] Теперь найдем значение (y), подставив (x = -2) в уравнение параболы: [ y = (-2)^2 + 4(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-2, -2)).
Найдем нули функции, решив уравнение (x^2 + 4x + 2 = 0). Используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2} ] Таким образом, нули функции приблизительно равны (-2 - \sqrt{2}) и (-2 + \sqrt{2}), или примерно -3.41 и -0.59.
Поскольку парабола открывается вверх и вершина находится в ((-2, -2)), функция принимает отрицательные значения только в интервале между корнями ((-3.41, -0.59)). На остальных интервалах значения функции положительны.
Функция убывает от (-\infty) до (-2) и возрастает от (-2) до (+\infty). Это связано с тем, что (-2) - это точка минимума параболы.
Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно (-2).
График (y = x^2 + 4x + 2) - парабола с вершиной в точке ((-2, -2)), нулями функции в точках примерно (-3.41) и (-0.59), убывающая на интервале ((-\infty, -2)) и возрастающая на интервале ((-2, +\infty)). Наименьшее значение функции равно (-2), достигаемое в вершине.
а) Нули функции можно найти, когда y равен нулю. Для этого решаем уравнение x^2 + 4x + 2 = 0. Получаем два корня: x1 ≈ -3.73 и x2 ≈ -0.27.
б) Промежутки, в которых y > 0, будут между корнями уравнения, т.е. при x ∈ (-3.73, -0.27) или x ∈ (-бесконечность, -3.73) объединенного с ( -0.27, +бесконечность).
в) Функция возрастает на промежутках, где производная положительна, и убывает на промежутках, где производная отрицательна. Производная функции y = x^2 + 4x + 2 равна 2x + 4. Она положительна при x > -2 и отрицательна при x < -2. Таким образом, функция возрастает на промежутке (-2, +бесконечность) и убывает на промежутке (-бесконечность, -2).
Г) Наименьшее значение функции можно найти, если рассмотреть вершину параболы. Для параболы вида y = ax^2 + bx + c, вершина находится в точке x = -b/2a. В данном случае, x = -4/(21) = -2. Подставляем x = -2 в функцию и получаем y = (-2)^2 + 4(-2) + 2 = -2. Таким образом, наименьшее значение функции равно -2.
