Постройте график функции y=x^2+4x+2 найдите по графику а) нули функции б) промежутки в которых y0 в)промежутки...

Для построения графика функции $y=x^2+4x+2$ и анализа его свойств, начнем с выяснения основных характеристик этой квадратичной функции. Функция имеет вид $y=a{x}^2+bx+c$, где $a=1$, $b=4$, и $c=2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a$ положителен.

1. Нахождение вершины параболы

Вершина параболы находится в точке $x=-\frac{b}{2a}$. Подставим значения: $x=-\frac{4}{2\times 1}=-2$ Теперь найдем значение $y$, подставив $x=-2$ в уравнение параболы: $y=(-2{)}^2+4(-2)+2=4-8+2=-2$ Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2,-2$).

2. Нахождение нулей функции

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2+4x+2=0$. Используем формулу корней квадратного уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $x=\frac{-4\pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}=-2\pm \sqrt{2}$ Таким образом, нули функции приблизительно равны $-2-\sqrt{2}$ и $-2+\sqrt{2}$, или примерно -3.41 и -0.59.

3. Промежутки знакопостоянства

Поскольку парабола открывается вверх и вершина находится в $(-2,-2$), функция принимает отрицательные значения только в интервале между корнями $(-3.41,-0.59$). На остальных интервалах значения функции положительны.

4. Промежутки возрастания и убывания

Функция убывает от $-\mathrm{\infty }$ до $-2$ и возрастает от $-2$ до $+\mathrm{\infty }$. Это связано с тем, что $-2$ - это точка минимума параболы.

5. Наименьшее значение

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $-2$.

Вывод

График $y=x^2+4x+2$ - парабола с вершиной в точке $(-2,-2$), нулями функции в точках примерно $-3.41$ и $-0.59$, убывающая на интервале $(-\mathrm{\infty },-2$) и возрастающая на интервале $(-2,+\mathrm{\infty }$). Наименьшее значение функции равно $-2$, достигаемое в вершине.

а) Нули функции можно найти, когда y равен нулю. Для этого решаем уравнение x^2 + 4x + 2 = 0. Получаем два корня: x1 ≈ -3.73 и x2 ≈ -0.27.

б) Промежутки, в которых y > 0, будут между корнями уравнения, т.е. при x ∈ $-3.73,-0.27$ или x ∈ $-бесконечность,-3.73$ объединенного с $-0.27,+бесконечность$.

в) Функция возрастает на промежутках, где производная положительна, и убывает на промежутках, где производная отрицательна. Производная функции y = x^2 + 4x + 2 равна 2x + 4. Она положительна при x > -2 и отрицательна при x < -2. Таким образом, функция возрастает на промежутке $-2,+бесконечность$ и убывает на промежутке $-бесконечность,-2$.

Г) Наименьшее значение функции можно найти, если рассмотреть вершину параболы. Для параболы вида y = ax^2 + bx + c, вершина находится в точке x = -b/2a. В данном случае, x = -4/(21) = -2. Подставляем x = -2 в функцию и получаем y = $-2$^2 + 4$-2$ + 2 = -2. Таким образом, наименьшее значение функции равно -2.