Постройте график функции y = x^2+2x-3. Пользуясь графиком найдите : 1)Промежуток на котором функция...

1) Функция возрастает на промежутке (-∞, -1) и (1, +∞). 2) Функция принимает положительные значения при x > -3.

Для построения графика функции ( y = x^2 + 2x - 3 ) необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдите вершину параболы.

Функция ( y = x^2 + 2x - 3 ) является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Вершина параболы находится на оси симметрии, которая имеет уравнение ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a ) и ( b ) — коэффициенты из общего вида квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ).

Для ( y = x^2 + 2x - 3 ), ( a = 1 ) и ( b = 2 ):

[ x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ]

Теперь найдём значение ( y ) в вершине, подставив ( x = -1 ) в уравнение функции:

[ y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( (-1, -4) ).

1. Найдите точки пересечения с осями координат.

• Точка пересечения с осью ( y ) (когда ( x = 0 )):

[ y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3 ]

Значит, точка пересечения с осью ( y ) имеет координаты ( (0, -3) ).

• Точки пересечения с осью ( x ) (когда ( y = 0 )):

Решим уравнение ( x^2 + 2x - 3 = 0 ):

[ x^2 + 2x - 3 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} ]

[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 ] [ x_2 = \frac{-6}{2} = -3 ]

Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) имеют координаты ( (1, 0) ) и ( (-3, 0) ).

1. Постройте график.

Теперь у нас есть ключевые точки: вершина ( (-1, -4) ), точки пересечения с осью ( y ) ( (0, -3) ), и точки пересечения с осью ( x ) ( (1, 0) ) и ( (-3, 0) ). Построив эти точки и проведя параболу через них, мы получим график функции.

1. Анализ графика.

• Промежуток возрастания функции.

Парабола имеет ось симметрии ( x = -1 ). Функция ( y = x^2 + 2x - 3 ) убывает на интервале ( (-\infty, -1) ) и возрастает на интервале ( (-1, \infty) ). Таким образом, функция возрастает на промежутке ( (-1, \infty) ).

• Положительные значения функции.

Функция принимает положительные значения, когда её график находится выше оси ( x ). Это происходит между корнями ( x = -3 ) и ( x = 1 ):

[ x \in (-3, 1) ]

Таким образом, для функции ( y = x^2 + 2x - 3 ):

1. Функция возрастает на промежутке ( (-1, \infty) ).
2. Функция принимает положительные значения на промежутке ( (-3, 1) ).

Для построения графика функции y = x^2 + 2x - 3 сначала выразим ее в виде вершины параболы: y = (x + 1)^2 - 4. Вершина параболы находится в точке (-1, -4). Также заметим, что парабола при x = -1 достигает минимума.

1) Функция возрастает на промежутке (-бесконечность, -1), так как при увеличении x значение функции увеличивается.

2) Функция принимает положительные значения при x > -1, так как на этом промежутке значение функции y > 0.