Постройте график функции y=x^2-x-2. Найдите по графику : 1) нули функции 2) промежутки возрастания и...

Для построения графика функции y=x^2-x-2 необходимо следовать нескольким шагам:

1) Нули функции: нули функции находятся при y=0, т.е. x^2-x-2=0. Решив это квадратное уравнение, получаем x=-1 и x=2. Следовательно, нули функции равны x=-1 и x=2.

2) Промежутки возрастания и убывания функции: функция возрастает на промежутке (-бесконечность, -1) и (2, +бесконечность), убывает на промежутке (-1, 2).

3) Промежутки, в которых y0: функция y=x^2-x-20 на промежутках (-бесконечность, -1) и (2, +бесконечность).

Построив график функции y=x^2-x-2, мы сможем визуально увидеть все эти характеристики.

Для того чтобы построить график функции ( y = x^2 - x - 2 ), мы начнем с анализа и нахождения ключевых характеристик параболы.

1. Нули функции

Нули функции — это значения ( x ), при которых ( y = 0 ). Для нахождения нулей функции ( y = x^2 - x - 2 ), нужно решить уравнение: [ x^2 - x - 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение методом разложения на множители. Найдем корни уравнения: [ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 ]

Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -1 ).

2. Промежутки возрастания и убывания функции

Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - x - 2) = 2x - 1 ]

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю: [ 2x - 1 = 0 ] [ x = \frac{1}{2} ]

Теперь исследуем знаки производной на промежутках ( (-\infty, \frac{1}{2}) ) и ( (\frac{1}{2}, \infty) ):

• Если ( x < \frac{1}{2} ), то ( 2x - 1 < 0 ), следовательно, функция убывает на промежутке ( (-\infty, \frac{1}{2}) ).
• Если ( x > \frac{1}{2} ), то ( 2x - 1 > 0 ), следовательно, функция возрастает на промежутке ( (\frac{1}{2}, \infty) ).

3. Промежутки, в которых ( y < 0 ) и ( y > 0 )

Для нахождения этих промежутков определим значения функции на интервалах, определенных нулями функции ( x = -1 ) и ( x = 2 ).

• ( y > 0 ) на промежутках, где график функции выше оси ( x ). Это происходит на промежутках: [ x < -1 \quad \text{и} \quad x > 2 ]
• ( y < 0 ) на промежутке, где график функции ниже оси ( x ). Это происходит на промежутке: [ -1 < x < 2 ]

Построение графика функции

Графиком функции ( y = x^2 - x - 2 ) является парабола, ветви которой направлены вверх.

1. Точки пересечения с осью ( x ) (нули функции): ( x = -1 ) и ( x = 2 ).
2. Вершина параболы находится в точке ( x = \frac{1}{2} ). Подставим её значение в исходную функцию для нахождения координат вершины: [ y = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} ] Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( \left( \frac{1}{2}, -\frac{9}{4} \right) ).

Итог

1. Нули функции: ( x = -1 ) и ( x = 2 ).
2. Промежутки возрастания и убывания функции:
   • Убывание: ( (-\infty, \frac{1}{2}) )
   • Возрастание: ( (\frac{1}{2}, \infty) )
3. Промежутки, в которых ( y < 0 ) и ( y > 0 ):
   • ( y > 0 ) при ( x < -1 ) и ( x > 2 )
   • ( y < 0 ) при ( -1 < x < 2 )

График функции можно нарисовать, отмечая нули функции, вершину параболы и поведение функции на указанных промежутках.