Постройте график функции y= x^2-6x-7. Найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции положительны; ,б) при каких значениях аргумента функция убывает.
Постройте график функции y= x^2-6x-7. Найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции положительны; ,б) при каких значениях аргумента функция убывает.
График функции y= x^2-6x-7 - парабола, которая ветвится вверх.
а) Значения функции положительны, когда y>0: x^2-6x-7>0 (x-1)(x-7)>0 Так как функция ветвится вверх, значения положительны при x7.
б) Функция убывает на интервалах, где производная отрицательна: y'=2x-6 2x-6
Для начала построим график функции ( y = x^2 - 6x - 7 ).
Функция ( y = x^2 - 6x - 7 ) является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Начнем с нахождения ключевых характеристик параболы: вершины, оси симметрии и точек пересечения с осями координат.
Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). В данном случае ( a = 1 ), ( b = -6 ), и ( c = -7 ).
Найдем координату вершины: [ x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 ]
Теперь подставим ( x = 3 ) в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение ( y ): [ y = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 ]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты ( (3, -16) ).
Ось симметрии параболы проходит через вершину и имеет уравнение ( x = 3 ).
Чтобы найти точку пересечения с осью ( y ), подставим ( x = 0 ) в уравнение функции: [ y = 0^2 - 6 \cdot 0 - 7 = -7 ] Таким образом, точка пересечения с осью ( y ) имеет координаты ( (0, -7) ).
Чтобы найти точки пересечения с осью ( x ), нужно решить уравнение ( x^2 - 6x - 7 = 0 ).
Решим квадратное уравнение: [ x^2 - 6x - 7 = 0 ]
Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 ]
Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2} ]
Таким образом, корни: [ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7 ] [ x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 ]
Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) имеют координаты ( (7, 0) ) и ( (-1, 0) ).
Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика параболы. Она пересекает ось ( y ) в точке ( (0, -7) ), ось ( x ) в точках ( (7, 0) ) и ( (-1, 0) ), и вершина параболы находится в точке ( (3, -16) ).
Значения функции положительны там, где парабола лежит выше оси ( x ). Это происходит между корнями уравнения ( x^2 - 6x - 7 = 0 ), то есть между ( x = -1 ) и ( x = 7 ).
Поэтому значения аргумента, при которых значения функции положительны: [ x < -1 \quad \text{или} \quad x > 7 ]
Функция убывает на интервале от (-\infty) до вершины параболы. Вершина находится в точке ( x = 3 ).
Поэтому функция убывает при: [ x < 3 ]
Таким образом:
Для построения графика функции y = x^2 - 6x - 7 сначала нужно найти вершину параболы, которая задается этим уравнением. Вершина параболы находится по формуле x = -b / 2a, где a = 1, b = -6. Подставляя значения, получаем x = 6 / 2 = 3. Теперь найдем значение функции в этой точке: y = 3^2 - 6*3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16. Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, -16).
С учетом вершины параболы, построим график функции y = x^2 - 6x - 7. Так как коэффициент при x^2 положителен, парабола будет направлена вверх.
а) Функция y = x^2 - 6x - 7 положительна, когда значение функции больше нуля. Решим неравенство x^2 - 6x - 7 > 0. Для этого найдем корни уравнения x^2 - 6x - 7 = 0, которые равны x1 ≈ -0.88 и x2 ≈ 6.88. Таким образом, функция положительна при x < -0.88 и x > 6.88.
б) Функция убывает на интервалах, где производная функции отрицательна. Найдем производную функции y = x^2 - 6x - 7: y' = 2x - 6. Приравниваем производную к нулю: 2x - 6 = 0, откуда x = 3. Таким образом, функция убывает при x < 3.
