Постройте график функции y=x^2-3|x|-2x и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком...

Для решения задачи необходимо проанализировать выражение ( y = x^2 - 3|x| - 2x ) и определить его поведение, а затем исследовать условия, при которых прямая ( y = m ) пересекает график функции в заданном количестве точек.

Шаг 1: Разбиение функции на интервалы

Функция включает модуль, поэтому её нужно рассмотреть на двух интервалах:

1. Для ( x \geq 0 ): модуль раскрывается как ( |x| = x ). В этом случае функция принимает вид: [ y = x^2 - 3x - 2x = x^2 - 5x ]

2. Для ( x < 0 ): модуль раскрывается как ( |x| = -x ). В этом случае функция принимает вид: [ y = x^2 + 3x - 2x = x^2 + x ]

Шаг 2: Исследование каждой части функции

1. Для ( x \geq 0 ): [ y = x^2 - 5x ] Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке ( x = \frac{5}{2} ).

2. Для ( x < 0 ): [ y = x^2 + x ] Это также парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке ( x = -\frac{1}{2} ).

Шаг 3: Построение графика

График состоит из двух частей парабол, соединённых в точке ( x = 0 ). Обе части гладко соединяются, поскольку в точке ( x = 0 ) они обе имеют значение ( y = 0^2 + 0 = 0 ).

Шаг 4: Определение пересечений с прямой ( y = m )

Для определения пересечений прямой ( y = m ) с графиком функции, необходимо решить уравнения для каждой части функции:

1. ( x^2 - 5x = m ) для ( x \geq 0 ): [ x^2 - 5x - m = 0 ]

2. ( x^2 + x = m ) для ( x < 0 ): [ x^2 + x - m = 0 ]

Для каждого из этих квадратных уравнений решаем на количество действительных корней (точек пересечения) в зависимости от дискриминанта.

Шаг 5: Анализ дискриминантов

1. ( x^2 - 5x - m = 0 ): [ D_1 = 25 + 4m ]

2. ( x^2 + x - m = 0 ): [ D_2 = 1 + 4m ]

Для не менее 1 и не более 3 точек пересечения, необходимо учитывать несколько случаев:

• ( D_1 \geq 0 ) и ( D_2 \geq 0 ) для существования хотя бы одного корня.
• Одно из уравнений может иметь два корня, а другое — один корень, чтобы в сумме получилось 3.

Шаг 6: Интервалы для ( m )

1. ( D_1 > 0 ): ( m > -\frac{25}{4} )
2. ( D_2 > 0 ): ( m > -\frac{1}{4} )

Для одного корня в ( x^2 - 5x - m = 0 ) (вершина) и двух в ( x^2 + x - m = 0 ) или наоборот, решаем условия дискриминанта равным нулю для одного из уравнений:

• ( D_1 = 0 ): ( m = -\frac{25}{4} )
• ( D_2 = 0 ): ( m = -\frac{1}{4} )

Таким образом, совокупность условий приводит к интервалу: [ m > -\frac{1}{4} ]

В этом случае количество точек пересечения будет варьироваться от 1 до 3 в зависимости от точного значения ( m ).

Заключение

Прямая ( y = m ) будет пересекать график функции в не менее чем одной и не более чем трёх точках, если ( m > -\frac{1}{4} ).

График функции y=x^2-3|x|-2x - парабола с вершиной в точке (-1, 4).

Прямая y=m пересекает график функции в 1, 2 или 3 точках в зависимости от значения m. Точки пересечения прямой с графиком функции можно найти, приравняв уравнения прямой и функции.

Для определения значений m, при которых прямая имеет от 1 до 3 точек пересечения с графиком функции, нужно найти значения функции в этих точках и сравнить их с m.

Для начала построим график функции y=x^2-3|x|-2x. Для этого разобьем на части:

1. Когда x>=0: y=x^2-3x-2x = x^2-5x

2. Когда x