Постройте график функции y=x². Возрастает или убывает эта функция на промежутке: а) (-бесконечность;...

Чтобы построить график функции ( y = x^2 ), начнем с некоторых базовых понятий:

1. Форма графика: Функция ( y = x^2 ) представляет собой параболу, которая открывается вверх. Это квадратичная функция, и ее общая форма графика симметрична относительно оси ( y ).

2. Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке ((0, 0)), поскольку коэффициенты ( b ) и ( c ) в общем уравнении квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) равны нулю (здесь ( a = 1 ), ( b = 0 ), ( c = 0 )).

3. Точки на графике: Для построения графика удобно вычислить несколько значений функции:

   • При ( x = -2 ), ( y = (-2)^2 = 4 ).
   • При ( x = -1 ), ( y = (-1)^2 = 1 ).
   • При ( x = 0 ), ( y = 0^2 = 0 ).
   • При ( x = 1 ), ( y = 1^2 = 1 ).
   • При ( x = 2 ), ( y = 2^2 = 4 ).

4. Построение графика: Теперь эти точки можно нанести на координатную плоскость и соединить, чтобы получить параболу.

Теперь рассмотрим поведение функции на заданных промежутках:

а) Промежуток ((- \infty, 0])

На этом промежутке ( x ) принимает отрицательные значения и значение 0. Чтобы определить, возрастает или убывает функция, рассмотрим производную функции ( y = x^2 ):

[ \frac{dy}{dx} = 2x ]

Производная функции показывает скорость изменения функции. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

• На промежутке ((- \infty, 0]), ( x ) отрицателен или равен нулю. Следовательно, ( 2x \leq 0 ). Это значит, что функция ( y = x^2 ) убывает на промежутке ((- \infty, 0)) и имеет минимальное значение (0) в точке ( x = 0 ).

б) Промежуток ([0, +\infty))

На этом промежутке ( x ) принимает неотрицательные значения.

• На промежутке ([0, +\infty)), ( x ) неотрицателен. Следовательно, ( 2x \geq 0 ). Это значит, что функция ( y = x^2 ) возрастает на промежутке ([0, +\infty)).

Вывод

• На промежутке ((- \infty, 0]) функция ( y = x^2 ) убывает.
• На промежутке ([0, +\infty)) функция ( y = x^2 ) возрастает.

График функции ( y = x^2 ) можно представить как V-образную параболу, симметричную относительно оси ( y ) с вершиной в точке (0, 0).

График функции y=x² возрастает на промежутке [0;+бесконечность) и убывает на промежутке (-бесконечность; 0].

Функция y=x² - это парабола, которая открывается вверх. График этой функции будет представлять собой плавный изогнутый линейный график.

На промежутке (-бесконечность; 0] функция y=x² убывает, так как при уменьшении x значение y увеличивается (например, при x=-2, y=4; при x=-1, y=1; при x=0, y=0).

На промежутке [0;+бесконечность) функция y=x² возрастает, так как при увеличении x значение y также увеличивается (например, при x=0, y=0; при x=1, y=1; при x=2, y=4).

Таким образом, функция y=x² убывает на промежутке (-бесконечность; 0] и возрастает на промежутке [0;+бесконечность).