Постройте график функции y=x-3/x^2-3x и определите при каких значениях параметра a прямая y=a не имеет с графиком общих точек
Постройте график функции y=x-3/x^2-3x и определите при каких значениях параметра a прямая y=a не имеет с графиком общих точек
Для построения графика функции y=x-3/x^2-3x необходимо выразить функцию в виде y=f(x). Для этого можно провести элементарные алгебраические преобразования:
y = x - 3 / x^2 - 3x y = x - 3 / x(x - 3) y = 1 - 3/x(x - 3)
Теперь мы можем построить график данной функции. Для определения значений параметра a, при которых прямая y=a не имеет общих точек с графиком функции, необходимо рассмотреть условие, при котором уравнение y=a не имеет решений вида y=f(x).
Для этого подставим y=a в уравнение функции y=f(x):
a = 1 - 3/x(x - 3)
Теперь мы можем решить данное уравнение относительно x и далее найти значения параметра a, при которых уравнение не имеет решений.
Для построения графика функции ( y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x} ) и определения значений параметра ( a ), при которых прямая ( y = a ) не имеет общих точек с графиком, следуем следующим шагам.
Функция ( y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x} ) может быть упрощена. Прежде всего, заметим, что знаменатель можно разложить на множители:
[ x^2 - 3x = x(x - 3) ]
Тогда функция переписывается как:
[ y = \frac{x - 3}{x(x - 3)} ]
При ( x \neq 0 ) и ( x \neq 3 ), можно сократить числитель и знаменатель на ( x - 3 ):
[ y = \frac{1}{x} ]
Область определения функции ( y = \frac{x - 3}{x(x - 3)} ) исключает значения ( x = 0 ) и ( x = 3 ), так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, что делает функцию неопределенной.
Теперь, фактически, наша функция сводится к ( y = \frac{1}{x} ) с исключениями в точках ( x = 0 ) и ( x = 3 ). График функции ( y = \frac{1}{x} ) представляет собой гиперболу с вертикальной и горизонтальной асимптотами ( x = 0 ) и ( y = 0 ) соответственно.
Поскольку ( x = 3 ) также исключено, в этой точке будет разрыв. В окрестности ( x = 3 ) значения функции будут стремиться к бесконечности, то есть в точке ( x = 3 ) будет вертикальная асимптота.
Для того чтобы прямая ( y = a ) не пересекала график функции ( y = \frac{1}{x} ), необходимо, чтобы прямая ( y = a ) не имела общих точек с графиком. Это означает, что уравнение:
[ a = \frac{1}{x} ]
не должно иметь решений для любого значения ( x ) из области определения функции ( y = \frac{1}{x} ), то есть ( x \neq 0 ) и ( x \neq 3 ).
Уравнение ( a = \frac{1}{x} ) не имеет решений, если значение ( a ) не может быть получено при подстановке любого ( x ) из области определения функции. В данном случае, функция ( y = \frac{1}{x} ) может принимать любые значения, кроме нуля (поскольку при ( x \to \infty ) или ( x \to -\infty ), ( y ) стремится к нулю, но не достигает его).
Таким образом, прямая ( y = a ) не пересекает график функции только в одном случае:
[ a = 0 ]
Прямая ( y = a ) не имеет общих точек с графиком функции ( y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x} ) при ( a = 0 ).
График функции ( y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x} ) состоит из двух частей гиперболы с вертикальной асимптотой в точке ( x = 3 ) и горизонтальной асимптотой ( y = 0 ), при этом точка ( x = 0 ) также исключается из области определения и является вертикальной асимптотой.
