Постройте график функции y=5/x. С помощью графика найдите: а) значение функции, если аргумент равен...

Для построения графика функции y=5/x мы можем воспользоваться программами для построения графиков, такими как GeoGebra или Desmos.

а) Для нахождения значения функции при различных значениях аргумента, нам нужно подставить значения -10, -2 и 5 вместо x в уравнение y=5/x и вычислить результат:

• при x=-10: y=5/(-10)=-0.5
• при x=-2: y=5/(-2)=-2.5
• при x=5: y=5/5=1

б) Для нахождения значения аргумента, при котором значение функции равно -5, нам нужно решить уравнение -5=5/x: -5=5/x -5x=5 x=-1

в) Для нахождения значения аргумента, при котором y>1, нам нужно рассмотреть график функции и найти точку, где функция пересекает ось y=1.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке [-5;-1] нам нужно вычислить значения функции при x=-5 и x=-1, а также найти экстремумы функции на данном отрезке.

Для построения графика функции ( y = \frac{5}{x} ) рассмотрим основные свойства этой функции.

1. Область определения: Функция определена для всех ( x \neq 0 ), так как деление на ноль не определено.

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x = 0 ) (когда ( x ) стремится к нулю, ( y ) стремится к бесконечности или минус бесконечности).
   • Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ) (когда ( x ) стремится к бесконечности, ( y ) стремится к нулю).

3. Симметрия: Функция является нечетной, то есть ( y(-x) = -y(x) ). График симметричен относительно начала координат.

Теперь построим график функции. График представляет собой гиперболу с двумя ветвями, одна из которых находится в первой четверти (для ( x > 0 )), и другая — в третьей четверти (для ( x < 0 )).

Для построения графика можно использовать несколько точек:

• При ( x = 1 ): ( y = 5 )
• При ( x = -1 ): ( y = -5 )
• При ( x = 5 ): ( y = 1 )
• При ( x = -5 ): ( y = -1 )

Теперь ответим на вопросы:

а) Значение функции, если аргумент равен -10; -2; 5

• При ( x = -10 ): ( y = \frac{5}{-10} = -0.5 )
• При ( x = -2 ): ( y = \frac{5}{-2} = -2.5 )
• При ( x = 5 ): ( y = \frac{5}{5} = 1 )

б) Значение аргумента, при которых значение функции равно -5

• ( y = -5 ): ( -5 = \frac{5}{x} ) Решаем уравнение: ( x = \frac{5}{-5} = -1 )

в) Значение аргумента, при которых ( y > 1 )

• ( y = \frac{5}{x} > 1 ) Решаем неравенство: ( \frac{5}{x} > 1 ) Умножаем на ( x ) (с учётом знака ( x )):
  • Если ( x > 0 ): ( 5 > x ) => ( x < 5 )
  • Если ( x < 0 ): ( 5 < x ) (невозможно, так как ( x ) отрицательное) Значит, ( x ) должно быть положительным и меньше 5: ( 0 < x < 5 )

г) Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке ([-5; -1]) Рассмотрим значения функции на границах отрезка и найдём минимум и максимум:

• При ( x = -5 ): ( y = \frac{5}{-5} = -1 )

• При ( x = -1 ): ( y = \frac{5}{-1} = -5 )

  Так как ( \frac{5}{x} ) на отрезке ([-5; -1]) является монотонно возрастающей функцией (так как ( x ) отрицательное и по модулю уменьшается), наименьшее значение функции будет на ( x = -1 ), а наибольшее — на ( x = -5 ).

  • Наименьшее значение: ( y = -5 )
  • Наибольшее значение: ( y = -1 )

Итак, мы построили график функции и ответили на все вопросы, связанные с ним.

График функции y=5/x - гипербола, проходящая через точку (1,5). а) При аргументах -10, -2, 5 значения функции равны -0.5, -2.5, 1 соответственно. б) Значение функции равно -5 при аргументе -1. в) Значение функции больше 1 при аргументах x5. г) Наименьшее значение функции на отрезке [-5;-1] равно -1, наибольшее -5.