Постройте график функции: y=2(x-1)^2-5. Напишите уравнение оси симметрии построенного графика.

Чтобы построить график функции ( y = 2(x-1)^2 - 5 ), начнем с анализа её структуры. Эта функция является квадратичной и имеет вид:

[ y = a(x-h)^2 + k, ]

где ( a = 2 ), ( h = 1 ), и ( k = -5 ). График такой функции представляет собой параболу.

1. Определение направления ветвей параболы:

   • Поскольку ( a = 2 ) (положительное число), парабола направлена вверх.

2. Вершина параболы:

   • Вершина параболы находится в точке ((h, k)), т.е. ((1, -5)).

3. Ось симметрии:

   • Ось симметрии параболы совпадает с вертикальной прямой, проходящей через вершину. Таким образом, уравнение оси симметрии:

   [ x = 1. ]

4. Построение графика:

   • Начнем с вершины ((1, -5)).
   • Поскольку парабола симметрична относительно оси симметрии ( x = 1 ), для построения дополнительных точек выберем значения ( x ) слева и справа от оси симметрии и найдем соответствующие значения ( y ).

   Например, выберем несколько значений ( x ):

   • Для ( x = 0 ): [ y = 2(0-1)^2 - 5 = 2 \times 1 - 5 = -3. ] Точка ((0, -3)).

   • Для ( x = 2 ): [ y = 2(2-1)^2 - 5 = 2 \times 1 - 5 = -3. ] Точка ((2, -3)).

   • Для ( x = -1 ): [ y = 2(-1-1)^2 - 5 = 2 \times 4 - 5 = 3. ] Точка ((-1, 3)).

   • Для ( x = 3 ): [ y = 2(3-1)^2 - 5 = 2 \times 4 - 5 = 3. ] Точка ((3, 3)).

5. График:

   • Построив точки: ((1, -5)), ((0, -3)), ((2, -3)), ((-1, 3)), ((3, 3)), вы увидите, что они образуют параболу, симметричную относительно прямой ( x = 1 ).

Таким образом, график функции ( y = 2(x-1)^2 - 5 ) — это парабола, направленная вверх с вершиной в точке ((1, -5)), а ось симметрии имеет уравнение ( x = 1 ).

Для построения графика данной функции y=2(x-1)^2-5 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем вершину параболы, которая является точкой минимума функции. Для этого используем формулу вершины параболы: (h, k), где h - координата x вершины, а k - координата y вершины. В данном случае у нас функция имеет вид y=a(x-h)^2+k, где a=2, h=1, k=-5. h=1, k=-5, следовательно вершина параболы будет иметь координаты (1, -5).

2. Определим направление открытия параболы. Так как коэффициент при x^2 равен 2 (а>0), парабола будет направлена вверх.

3. Построим график функции, используя найденную вершину и направление параболы.

4. Уравнение оси симметрии параболы имеет вид x=h, где h - координата x вершины параболы. Следовательно, уравнение оси симметрии данного графика будет x=1.

Таким образом, построенный график функции y=2(x-1)^2-5 будет иметь вершину в точке (1, -5) и ось симметрии x=1.