Постройте график функции у=-х^2-4x+5. Пользуясь графиком,найдите: а)область значения функций б)промежуток...

Чтобы построить график функции ( y = -x^2 - 4x + 5 ) и ответить на вопросы, выполним несколько шагов.

Шаг 1: Преобразование функции

Функция ( y = -x^2 - 4x + 5 ) является квадратичной функцией и представляет собой параболу. Чтобы упростить анализ, перепишем функцию в вершиной форме.

Для этого используем метод completing the square (дополнение до полного квадрата):

[ y = -x^2 - 4x + 5 ]

Выносим минус перед квадратом:

[ y = -(x^2 + 4x) + 5 ]

Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при ( x ):

[ y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 5 ] [ y = -(x + 2)^2 + 4 + 5 ] [ y = -(x + 2)^2 + 9 ]

Теперь функция имеет вид:

[ y = -(x + 2)^2 + 9 ]

Шаг 2: Построение графика

График функции ( y = -(x + 2)^2 + 9 ) представляет собой параболу, вершина которой находится в точке ((-2, 9)), и направлена вниз из-за отрицательного коэффициента перед ( (x + 2)^2 ).

Шаг 3: Определение области значений функции

Область значений функции ( y = -(x + 2)^2 + 9 ) определяется тем, что парабола направлена вниз и достигает максимума в вершине.

Максимальное значение функции — это значение в вершине ( y = 9 ). Поскольку парабола направлена вниз, ( y ) принимает все значения от минус бесконечности до 9 включительно.

Таким образом, область значений функции:

[ y \in (-\infty, 9] ]

Шаг 4: Определение промежутка возрастания функции

Функция ( y = -(x + 2)^2 + 9 ) возрастает на интервале, где производная положительна.

Найдем производную функции:

[ y' = \frac{d}{dx} (-(x + 2)^2 + 9) ] [ y' = -2(x + 2) ]

Производная положительна, когда:

[ -2(x + 2) > 0 ] [ x + 2 < 0 ] [ x < -2 ]

Таким образом, функция возрастает на интервале ( (-\infty, -2) ).

Итоги

а) Область значений функции ( y = -x^2 - 4x + 5 ):

[ y \in (-\infty, 9] ]

б) Промежуток возрастания функции ( y = -x^2 - 4x + 5 ):

[ x \in (-\infty, -2) ]

а) Область значений функции y=-x^2-4x+5 - это множество всех действительных чисел, так как график функции является параболой, которая открывается вниз и не имеет верхней грани. б) Промежуток возрастания функции y=-x^2-4x+5 - это интервал от -2 до бесконечности, так как на этом интервале функция убывает, а затем начинает возрастать.

Для построения графика функции у=-х^2-4x+5 сначала определим ее вершину. Для этого воспользуемся формулой x = -b/(2a), где a=-1, b=-4. Подставив значения, получим x = -(-4)/(2(-1)) = 2. Теперь найдем значение у при x=2: y = -(2)^2 - 42 + 5 = -4 - 8 + 5 = -7. Таким образом, вершина графика находится в точке (2, -7).

Далее построим график функции, который будет параболой, направленной вниз. Областью значений функции будет множество всех возможных значений y, которые принимает функция. В данном случае, так как вершина параболы находится ниже оси Х, область значений будет от минус бесконечности до -7.

Промежуток возрастания функции будет определяться тем, где график функции находится над осью Х. Так как парабола направлена вниз, функция будет убывать на всей области определения. Следовательно, промежутка возрастания у данной функции нет.