Постройте график функции у=х^2 +2х+3 и найдите по графику наименьшее значение функции

Для построения графика функции ( y = x^2 + 2x + 3 ) начнем с анализа ее структуры. Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу. Основные характеристики квадратичной функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) включают:

1. Вершина параболы: координаты вершины можно найти по формулам ( x = -\frac{b}{2a} ) и ( y = c - \frac{b^2}{4a} ). Для данной функции ( a = 1, b = 2, c = 3 ). Подставляя эти значения, получаем:

   • ( x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 )
   • ( y = 3 - \frac{2^2}{4 \times 1} = 3 - 1 = 2 ) Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-1, 2)).

2. Направление ветвей параболы: поскольку коэффициент ( a = 1 ) положителен, ветви параболы направлены вверх.

3. Ось симметрии: парабола симметрична относительно прямой ( x = -1 ).

4. Пересечение с осями координат:

   • Ось Y: когда ( x = 0 ), ( y = 0^2 + 2 \times 0 + 3 = 3 ), таким образом, точка пересечения с осью Y — это (0, 3).
   • Ось X: уравнение ( x^2 + 2x + 3 = 0 ) не имеет действительных корней (дискриминант ( 2^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 - 12 = -8 ) отрицателен), значит, парабола не пересекает ось X.

Теперь можно построить график. Начертите систему координат, отметьте точку вершины параболы ((-1, 2)), точку пересечения с осью Y ((0, 3)) и нарисуйте параболу с ветвями, направленными вверх, проходящую через эти точки и симметричную относительно линии ( x = -1 ).

Наименьшее значение функции соответствует значению функции в вершине параболы, так как ветви направлены вверх. Таким образом, наименьшее значение функции ( y = x^2 + 2x + 3 ) равно 2 и достигается при ( x = -1 ).

График функции у=х^2 +2х+3 - парабола, направленная вверх. Наименьшее значение функции равно значению вершины параболы, которое можно найти по формуле x = -b/2a. В данном случае наименьшее значение функции равно 2.

Для построения графика функции у=х^2 +2х+3 сначала определим её вершину. Для квадратного уравнения вида у=ах^2+bx+c вершина функции находится по формуле x=-b/2a. В данном случае a=1, b=2, поэтому x=-2/(2*1)=-1.

Подставив x=-1 обратно в уравнение, найдем значение функции в вершине: у=(-1)^2 + 2*(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2. Таким образом, наименьшее значение функции равно 2.

График функции у=х^2 +2х+3 будет представлять собой параболу, вершина которой находится в точке (-1, 2) и направлен вверх.