Постройте график функции у = ǀх-3ǀ - ǀх+3ǀ и найдите все значения k, при которых прямая у= kх имеет...

Для начала построим график функции $y=|x-3|-|x+3|$.

1. Разложим модули на интервалах:
   • Когда $x>3$: $|x-3|=x-3$ и $|x+3|=x+3$. Тогда выражение принимает вид $y=(x-3$ - $x+3$ = -6 ).
   • Когда $-3\le x\le 3$: $|x-3|=3-x$ и $|x+3|=x+3$. Тогда функция принимает вид $y=(3-x$ - $x+3$ = -2x ).
   • Когда $x<-3$: $|x-3|=-(x-3$ = -x + 3 ) и $|x+3|=-(x+3$ = -x - 3 ). Тогда выражение становится $y=(-x+3$ - $-x-3$ = 6 ).

Теперь построим график:

• На интервале $x>3$ функция принимает константное значение -6.
• На интервале $-3\le x\le 3$ функция является линейной и убывает с угловым коэффициентом -2.
• На интервале $x<-3$ функция принимает константное значение 6.

Теперь рассмотрим вторую часть вопроса: найти все значения $k$, при которых прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

• При $k\ne -2$: прямая $y=kx$ либо не пересекает график функции $y=|x-3|-|x+3|$, либо пересекает его в двух точках на участках постоянства $y=-6$ и $y=6$. Однако, если $k=0$, то прямая $y=0$ пересекает график в точке $x=0$, где $y=0$, и это единственная точка пересечения.
• При $k=-2$: прямая $y=-2x$ полностью совпадает с участком графика на интервале $-3\le x\le 3$, и имеет бесконечно много точек пересечения.

Таким образом, единственное значение $k$, при котором прямая $y=kx$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку, это $k=0$.

Для построения графика функции у = |x-3| - |x+3| сначала разберемся с каждым из модулей по отдельности:

1. |x-3|: Когда x <= 3, модуль принимает вид x-3. Когда x > 3, модуль принимает вид -$x-3$ = 3-x.

2. |x+3|: Когда x <= -3, модуль принимает вид -$x+3$ = -x-3. Когда x > -3, модуль принимает вид x+3.

Теперь построим график функции у = |x-3| - |x+3|:

1. При x <= -3: у = -$x-3$ - -$x+3$ = 6.
2. При -3 < x <= 3: у = x-3 - -$x+3$ = 2x.
3. При x > 3: у = x-3 - $x+3$ = -6.

Таким образом, график функции будет иметь вид:

• прямая с наклоном 45 градусов и точкой пересечения с осью у в $0,0$
• прямая с наклоном 45 градусов и точкой пересечения с осью у в $0,6$
• прямая с наклоном 0 градусов и точкой пересечения с осью у в $0,-6$

Для того чтобы найти значения k, при которых прямая у = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку, необходимо найти значение k, при котором прямая касается графика функции в одной точке.

Это происходит в случае, когда прямая имеет наклон, равный наклону графика функции в точке касания. Таким образом, значения k будут равны наклону графика функции в точке касания.

Из графика видно, что функция имеет наклон 45 градусов в точках пересечения с осями координат. Следовательно, значения k, при которых прямая у = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку, будут равны 1 и -1.