Постройте функцию y =√x-4 и напишите её свойства пожалуйстаааа

Давайте разберемся с функцией ( y = \sqrt{x} - 4 ), построим её и определим свойства.

Построение функции

Функция ( y = \sqrt{x} - 4 ) является модификацией базовой функции ( y = \sqrt{x} ), которая представляет собой график квадратного корня. Основные изменения:

1. ( \sqrt{x} ): это стандартная функция квадратного корня, определённая только для ( x \geq 0 ).
2. Вычитание 4: график функции ( \sqrt{x} ) сдвигается вниз на 4 единицы.

Итак, чтобы построить график, нужно:

1. Задать значения ( x \geq 0 ) (так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным).
2. Вычислить соответствующие значения ( y = \sqrt{x} - 4 ).
3. Построить точки на плоскости ( (x, y) ) и соединить их плавной кривой.

Пример расчёта нескольких точек:

• При ( x = 0 ): ( y = \sqrt{0} - 4 = -4 ),
• При ( x = 1 ): ( y = \sqrt{1} - 4 = -3 ),
• При ( x = 4 ): ( y = \sqrt{4} - 4 = -2 ),
• При ( x = 9 ): ( y = \sqrt{9} - 4 = -1 ),
• При ( x = 16 ): ( y = \sqrt{16} - 4 = 0 ).

Теперь можем построить график, который будет начинаться в точке ( (0, -4) ) и медленно возрастать вправо.

Свойства функции ( y = \sqrt{x} - 4 )

1. Область определения (D(y)): Функция определена только тогда, когда подкоренное выражение ( x \geq 0 ), так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. [ D(y) = [0, +\infty) ]

2. Область значений (E(y)): Поскольку ( \sqrt{x} \geq 0 ) для любого ( x \geq 0 ), а мы отнимаем 4, то: [ y \geq -4 ] Таким образом: [ E(y) = [-4, +\infty) ]

3. Поведением функции:

   • График функции возрастает, так как по мере увеличения ( x ) значение ( \sqrt{x} ) становится больше, и ( y ) также увеличивается.
   • Функция является возрастающей на всей области определения ( [0, +\infty) ).

4. Пересечения с осями:

   • Пересечение с осью ( OY ) (когда ( x = 0 )): [ y = \sqrt{0} - 4 = -4, \quad \text{точка } (0, -4) ]
   • Пересечение с осью ( OX ) (когда ( y = 0 )): [ \sqrt{x} - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 16, \quad \text{точка } (16, 0) ]

5. Чётность: Функция не является чётной или нечётной, так как её область определения не симметрична относительно нуля.

6. Периодичность: Функция не является периодической.

7. График: График функции начинается в точке ( (0, -4) ), плавно возрастает и медленно становится более пологим, так как скорость роста ( \sqrt{x} ) уменьшается с увеличением ( x ).

Итак, основные свойства функции ( y = \sqrt{x} - 4 ) разобраны, а её график представляет собой сдвинутую вниз на 4 единицы ветвь обычной функции квадратного корня ( y = \sqrt{x} ).

Функция ( y = \sqrt{x} - 4 ) является преобразованием функции ( y = \sqrt{x} ).

Свойства функции:

1. Область определения: ( x \geq 0 ) (так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным).

2. Область значений: ( y \geq -4 ) (поскольку (\sqrt{x} \geq 0), следовательно, (y) принимает значения от -4 и выше).

3. Нули функции: Найдем, при каком (x) функция равна нулю: [ \sqrt{x} - 4 = 0 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 16. ] То есть, (x = 16) — это ноль функции.

4. Периодичность: Функция не является периодической.

5. Монотонность: Функция возрастает на всей области определения, так как производная (y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0) для (x > 0).

6. График: График функции представляет собой сдвинутую вниз на 4 единицы кривую, соответствующую функции (y = \sqrt{x}). Он начинается в точке (0, -4) и проходит через точку (16, 0).

Итог:

Функция ( y = \sqrt{x} - 4 ) определена для ( x \geq 0 ), возрастает, и принимает значения от -4 до бесконечности.

Для функции ( y = \sqrt{x} - 4 ) давайте сначала определим, как выглядит её график и какие свойства она имеет.

1. Область определения

Функция ( y = \sqrt{x} - 4 ) включает в себя корень из ( x ), поэтому необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное выражение. Это означает, что ( x ) должно быть больше или равно нулю: [ x \geq 0 ] Таким образом, область определения функции: [ D = [0, +\infty) ]

2. Область значений

Рассмотрим, как функция изменяется при различных значениях ( x ):

• Когда ( x = 0 ), ( y = \sqrt{0} - 4 = -4 ).
• Когда ( x ) увеличивается, ( \sqrt{x} ) также увеличивается.

Так как ( \sqrt{x} ) может принимать любые неотрицательные значения (от 0 до ( +\infty )), следовательно, ( y ) будет принимать значения от ( -4 ) до ( +\infty ): [ E = [-4, +\infty) ]

3. Нули функции

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение: [ \sqrt{x} - 4 = 0 ] Отсюда: [ \sqrt{x} = 4 \implies x = 16 ] Таким образом, функция имеет один нуль ( x = 16 ) (то есть точка пересечения с осью абсцисс).

4. Поведение функции

• При ( x = 0 ), ( y = -4 ) (это точка, где график функции начинает свое движение).
• При ( x = 16 ), ( y = 0 ).
• При ( x > 16 ), ( y ) будет расти, так как ( \sqrt{x} ) увеличивается.

5. Симметрия

Функция не обладает симметрией относительно оси ( y ) или точки (0, 0), так как это не ни четная, ни нечётная функция.

6. Монotonность

Функция ( y = \sqrt{x} - 4 ) является возрастной:

• Для ( x \geq 0 ), производная функции ( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} ) (при ( x > 0 )) положительна, что говорит о том, что функция возрастает на всей области определения.

7. Асимптоты

Функция не имеет вертикальных или горизонтальных асимптот, так как при ( x \to +\infty ) функция будет расти без ограничений ( y \to +\infty ).

8. График функции

График функции ( y = \sqrt{x} - 4 ) представляет собой кривую, которая начинается в точке (0, -4) и проходит через точку (16, 0), продолжая подниматься вверх вправо.

9. Примерные значения

Вот несколько значений для наглядности:

• ( x = 0 ) → ( y = -4 )
• ( x = 1 ) → ( y = \sqrt{1} - 4 = -3 )
• ( x = 4 ) → ( y = \sqrt{4} - 4 = -2 )
• ( x = 9 ) → ( y = \sqrt{9} - 4 = -1 )
• ( x = 16 ) → ( y = 0 )
• ( x = 25 ) → ( y = \sqrt{25} - 4 = 1 )

Заключение

Функция ( y = \sqrt{x} - 4 ) представляет собой возрастающую функцию, которая определена на интервале от 0 до бесконечности и принимает значения от -4 до бесконечности. График функции начинается в точке (-4) и проходит через ноль в точке (16).