Построить график функции y=-x^2+2x+3. С помощью графика найдите:А) промежутки возрастания и убывания...

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
функция наибольшее значение функции построение графика промежутки убывания промежутки возрастания значения x
0

Построить график функции y=-x^2+2x+3. С помощью графика найдите:

А) промежутки возрастания и убывания функции

Б) наибольшее значение функции

В) значения x, при которых y

avatar
задан 7 месяцев назад

2 Ответа

0

Функция, заданная уравнением ( y = -x^2 + 2x + 3 ), является квадратичной функцией. Такая функция описывается параболой, которая в данном случае имеет ветви, направленные вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный (-1).

Шаг 1: Найдем вершину параболы

Координаты вершины параболы можно найти по формулам: [ x_0 = -\frac{b}{2a} ] [ y_0 = c - \frac{b^2}{4a} ] где ( a = -1 ), ( b = 2 ), и ( c = 3 ).

Тогда: [ x_0 = -\frac{2}{2 \times -1} = 1 ] [ y_0 = 3 - \frac{2^2}{4 \times -1} = 3 + 1 = 4 ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 4).

Шаг 2: Построение графика

График функции проходит через вершину (1, 4) и симметричен относительно прямой ( x = 1 ). Подставим несколько значений ( x ) для получения дополнительных точек графика:

  • ( x = 0 ): ( y = -0^2 + 2 \times 0 + 3 = 3 )
  • ( x = 2 ): ( y = -2^2 + 2 \times 2 + 3 = 3 )
  • ( x = -1 ): ( y = -(-1)^2 + 2 \times (-1) + 3 = 0 )
  • ( x = 3 ): ( y = -3^2 + 2 \times 3 + 3 = 0 )

А) Промежутки возрастания и убывания

Парабола возрастает на интервале от ( -\infty ) до ( x_0 ) и убывает от ( x_0 ) до ( +\infty ). Таким образом:

  • Возрастание: ( x \in (-\infty, 1) )
  • Убывание: ( x \in (1, +\infty) )

Б) Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы, так как ветви параболы направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции равно 4 при ( x = 1 ).

В) Значения ( x ), при которых ( y = 0 )

Решим уравнение ( -x^2 + 2x + 3 = 0 ) с помощью метода разложения на множители: [ -(x^2 - 2x - 3) = 0 ] [ -(x - 3)(x + 1) = 0 ] Значит, ( x = 3 ) или ( x = -1 ).

График и анализ показывают, что парабола пересекает ось ( x ) в точках ( x = 3 ) и ( x = -1 ).

avatar
ответил 7 месяцев назад
0

А) График функции y=-x^2+2x+3 представляет собой параболу, которая направлена вниз. Таким образом, функция будет убывать на всей области определения (все значения x).

Б) Наибольшее значение функции можно найти, используя вершину параболы, которая является точкой экстремума. В данном случае, вершина параболы имеет координаты (1,4), что означает, что наибольшее значение функции равно 4.

В) Значения x, при которых y=0, можно найти, приравнивая уравнение к нулю и решая квадратное уравнение -x^2+2x+3=0. Решив это уравнение, получаем два значения x: -1 и 3. Таким образом, значения x, при которых y=0, равны -1 и 3.

avatar
ответил 7 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме