Функция, заданная уравнением ( y = -x^2 + 2x + 3 ), является квадратичной функцией. Такая функция описывается параболой, которая в данном случае имеет ветви, направленные вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный (-1).
Шаг 1: Найдем вершину параболы
Координаты вершины параболы можно найти по формулам:
[ x_0 = -\frac{b}{2a} ]
[ y_0 = c - \frac{b^2}{4a} ]
где ( a = -1 ), ( b = 2 ), и ( c = 3 ).
Тогда:
[ x_0 = -\frac{2}{2 \times -1} = 1 ]
[ y_0 = 3 - \frac{2^2}{4 \times -1} = 3 + 1 = 4 ]
Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 4).
Шаг 2: Построение графика
График функции проходит через вершину (1, 4) и симметричен относительно прямой ( x = 1 ). Подставим несколько значений ( x ) для получения дополнительных точек графика:
- ( x = 0 ): ( y = -0^2 + 2 \times 0 + 3 = 3 )
- ( x = 2 ): ( y = -2^2 + 2 \times 2 + 3 = 3 )
- ( x = -1 ): ( y = -(-1)^2 + 2 \times (-1) + 3 = 0 )
- ( x = 3 ): ( y = -3^2 + 2 \times 3 + 3 = 0 )
А) Промежутки возрастания и убывания
Парабола возрастает на интервале от ( -\infty ) до ( x_0 ) и убывает от ( x_0 ) до ( +\infty ). Таким образом:
- Возрастание: ( x \in (-\infty, 1) )
- Убывание: ( x \in (1, +\infty) )
Б) Наибольшее значение функции
Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы, так как ветви параболы направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции равно 4 при ( x = 1 ).
В) Значения ( x ), при которых ( y = 0 )
Решим уравнение ( -x^2 + 2x + 3 = 0 ) с помощью метода разложения на множители:
[ -(x^2 - 2x - 3) = 0 ]
[ -(x - 3)(x + 1) = 0 ]
Значит, ( x = 3 ) или ( x = -1 ).
График и анализ показывают, что парабола пересекает ось ( x ) в точках ( x = 3 ) и ( x = -1 ).