Построить график функции y=-3/x а) найти область определения функции б) какие значения принимает функция? в) является ли функция чётной или нечётной? г) укажите промежутки возрастания(убывания) функции
Построить график функции y=-3/x а) найти область определения функции б) какие значения принимает функция? в) является ли функция чётной или нечётной? г) укажите промежутки возрастания(убывания) функции
Для функции ( y = -\frac{3}{x} ), давайте рассмотрим каждый из пунктов задания:
а) Область определения функции
Область определения функции – это множество всех допустимых значений переменной ( x ), при которых функция имеет смысл. Для функции ( y = -\frac{3}{x} ), единственное ограничение – знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Следовательно, ( x \neq 0 ). Таким образом, область определения функции: ( \mathbb{R} \setminus {0} ) или ( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) ).
б) Какие значения принимает функция
Функция ( y = -\frac{3}{x} ) может принимать любые значения, кроме нуля. Когда ( x ) стремится к нулю справа (( x \to 0^+ )), ( y ) стремится к минус бесконечности (( y \to -\infty )). Когда ( x ) стремится к нулю слева (( x \to 0^- )), ( y ) стремится к плюс бесконечности (( y \to +\infty )). Таким образом, функция принимает все значения из ( \mathbb{R} \setminus {0} ).
в) Четность/нечетность функции
Функция ( f(x) ) называется четной, если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) из области определения, и нечетной, если ( f(-x) = -f(x) ). Проверим:
[ f(-x) = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x} ]
[ -f(x) = -\left(-\frac{3}{x}\right) = \frac{3}{x} ]
Так как ( f(-x) = -f(x) ), функция ( y = -\frac{3}{x} ) является нечетной.
г) Промежутки возрастания и убывания функции
Функция ( y = -\frac{3}{x} ) является гиперболой. Рассмотрим ее производную для определения промежутков возрастания и убывания:
[ y' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{x}\right) = 3 \cdot \frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = 3 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{3}{x^2} ]
Производная ( -\frac{3}{x^2} ) отрицательна для всех ( x \neq 0 ), так как ( x^2 ) всегда положительно. Это означает, что функция убывает на всей области определения, то есть на ( (-\infty, 0) ) и ( (0, +\infty) ).
Итоги:
а) Область определения функции y = -3/x - все действительные числа, кроме х = 0.
б) Функция y = -3/x принимает все значения, кроме 0.
в) Для определения, является ли функция четной или нечетной, подставим в нее -x вместо x:
y(-x) = -3/(-x) = 3/x
Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.
г) Функция y = -3/x возрастает на интервалах (-бесконечность, 0) и (0, +бесконечность), а убывает на интервалах (0, -бесконечность) и (бесконечность, 0).
