Построить график функции у=-6/х. С помощью графика найдите: а) значение функции, если аргумент равен...

Для построения графика функции ( y = -\frac{6}{x} ) начнем с анализа ее свойств.

1. Анализ функции

Функция ( y = -\frac{6}{x} ) является гиперболой, которая имеет следующие характеристики:

• Область определения: ( x \neq 0 ) (функция не определена в точке ( x = 0 )).
• Значения ( y ) могут быть положительными или отрицательными в зависимости от знака ( x ):
  • Если ( x > 0 ), то ( y < 0 ).
  • Если ( x < 0 ), то ( y > 0 ).

График функции будет иметь асимптоты:

• Вертикальная асимптота: ( x = 0 ) (график не пересекает ось ( y )).
• Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ) (график не пересекает ось ( x ) при ( x \neq 0 )).

2. Построение графика

Для построения графика можно определить несколько точек:

• Для ( x = -3 ): [ y = -\frac{6}{-3} = 2 \quad \Rightarrow \quad (-3, 2) ]

• Для ( x = -2 ): [ y = -\frac{6}{-2} = 3 \quad \Rightarrow \quad (-2, 3) ]

• Для ( x = -1 ): [ y = -\frac{6}{-1} = 6 \quad \Rightarrow \quad (-1, 6) ]

• Для ( x = 1 ): [ y = -\frac{6}{1} = -6 \quad \Rightarrow \quad (1, -6) ]

• Для ( x = 2 ): [ y = -\frac{6}{2} = -3 \quad \Rightarrow \quad (2, -3) ]

• Для ( x = 3 ): [ y = -\frac{6}{3} = -2 \quad \Rightarrow \quad (3, -2) ]

График будет выглядеть как две ветви гиперболы, одна в I и III квадрантах (при ( x < 0 ), ( y > 0 )), и другая во II и IV квадрантах (при ( x > 0 ), ( y < 0 )).

3. Значения функции для заданных аргументов

Теперь найдем значения функции для аргументов ( x = -1 ), ( x = 1.5 ), и ( x = 6 ):

• Для ( x = -1 ): [ y = -\frac{6}{-1} = 6 ]

• Для ( x = 1.5 ): [ y = -\frac{6}{1.5} = -4 ]

• Для ( x = 6 ): [ y = -\frac{6}{6} = -1 ]

Таким образом, значения функции:

• ( y(-1) = 6 )
• ( y(1.5) = -4 )
• ( y(6) = -1 )

4. Значение аргумента, при котором ( y < 2 )

Рассмотрим неравенство: [ -\frac{6}{x} < 2 ] Перепишем его: [ -\frac{6}{x} - 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{6 + 2x}{x} < 0 ] Это неравенство будет выполняться, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Разберем случаи:

• Случай 1: ( x > 0 )

  • ( -6 - 2x < 0 )
  • ( 2x > -6 )
  • ( x > -3 ) (в этом случае, так как ( x > 0 ), это условие всегда выполняется).

• Случай 2: ( x < 0 )

  • ( -6 - 2x > 0 )
  • ( -6 > 2x )
  • ( x < -3 )

Таким образом, ( y < 2 ) при ( x < -3 ) или ( x > 0 ).

Ответ

• Значения функции: ( y(-1) = 6 ), ( y(1.5) = -4 ), ( y(6) = -1 ).
• Аргументы, при которых ( y < 2 ): ( x < -3 ) или ( x > 0 ).

Для построения графика функции ( y = -\frac{6}{x} ) и анализа её свойств, разберем эту задачу подробно.

1. Построение графика функции ( y = -\frac{6}{x} )

Характеристика функции:

1. Область определения: Функция ( y = -\frac{6}{x} ) определена во всех точках, кроме ( x = 0 ), так как на ( x = 0 ) происходит деление на ноль. Таким образом, область определения: ( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) ).

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x = 0 ) (график приближается к оси ( x = 0 ), но никогда её не пересекает).
   • Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ) (при больших по модулю значениях ( x ), функция стремится к нулю).

3. Симметрия: Функция является нечётной, так как ( f(-x) = -f(x) ). Это означает, что график симметричен относительно начала координат.

4. Поведение в квадрантах:

   • При ( x > 0 ), ( y < 0 ) (функция отрицательна).
   • При ( x < 0 ), ( y > 0 ) (функция положительна).

5. Ключевые точки: Для построения графика удобно подставить несколько значений ( x ) и вычислить соответствующие ( y ). Например:

   • При ( x = 1 ), ( y = -\frac{6}{1} = -6 ).
   • При ( x = -1 ), ( y = -\frac{6}{-1} = 6 ).
   • При ( x = 2 ), ( y = -\frac{6}{2} = -3 ).
   • При ( x = -2 ), ( y = -\frac{6}{-2} = 3 ).
   • При ( x = 3 ), ( y = -\frac{6}{3} = -2 ), и так далее.

На основании этих точек можно построить график. Он состоит из двух ветвей: одна в 3-м квадранте (при ( x > 0 )), другая в 2-м квадранте (при ( x < 0 )).

2. Ответы на вопросы

а) Найти значение функции, если ( x = -1 ), ( x = 1.5 ), ( x = 6 ):

Подставляем данные значения ( x ) в формулу ( y = -\frac{6}{x} ):

1. При ( x = -1 ):
   [ y = -\frac{6}{-1} = 6. ]
2. При ( x = 1.5 ):
   [ y = -\frac{6}{1.5} = -4. ]
3. При ( x = 6 ):
   [ y = -\frac{6}{6} = -1. ]

Ответ:

• При ( x = -1, \, y = 6 ).
• При ( x = 1.5, \, y = -4 ).
• При ( x = 6, \, y = -1 ).

б) Найти значения аргумента, при которых ( y < 2 ):

Для нахождения таких значений ( x ), при которых ( y < 2 ), решим неравенство:
[ -\frac{6}{x} < 2. ]

Умножим обе стороны на ( x^2 ) (так как ( x \neq 0 ), знак неравенства не изменится):
[ -6 < 2x. ]

Разделим обе стороны на 2:
[ x > -6