Построить график функции у= -2cosx + 1

Чтобы построить график функции ( y = -2\cos(x) + 1 ), сначала проанализируем её основные характеристики, такие как амплитуда, период, сдвиги и точку пересечения с осью ( y ).

1. Амплитуда: Функция ( \cos(x) ) имеет амплитуду 1. В нашем случае, из-за коэффициента -2 перед косинусом, амплитуда функции ( y = -2\cos(x) + 1 ) будет равна 2. Это значит, что значения функции будут колебаться между 1 - 2 = -1 и 1 + 2 = 3.

2. Период: Период функции ( \cos(x) ) равен ( 2\pi ). Так как в данной функции не меняется аргумент косинуса (т.е. нет множителей перед ( x )), период останется равным ( 2\pi ).

3. Сдвиги: Функция ( -2\cos(x) ) будет отражена относительно оси ( x ), а затем сдвинута вверх на 1 единицу. Это означает, что максимальное значение функции будет равно 3, а минимальное значение -1.

4. Точки пересечения с осями:

   • Пересечение с осью ( y ): Подставим ( x = 0 ): [ y = -2\cos(0) + 1 = -2 \cdot 1 + 1 = -1. ] Таким образом, точка пересечения с осью ( y ) — это ( (0, -1) ).

   • Пересечение с осью ( x ): Найдем значения ( x ), при которых ( y = 0 ): [ 0 = -2\cos(x) + 1 \implies 2\cos(x) = 1 \implies \cos(x) = \frac{1}{2}. ] Решения уравнения ( \cos(x) = \frac{1}{2} ) в пределах одного периода ( [0, 2\pi] ) будут: [ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3}. ] Соответственно, точки пересечения с осью ( x ): ( \left(\frac{\pi}{3}, 0\right) ) и ( \left(\frac{5\pi}{3}, 0\right) ).

5. График функции: Теперь, когда мы определили основные характеристики функции, можем построить график. Для этого:

   • Отметьте точки пересечения с осями.
   • Учтите, что функция колеблется между -1 и 3 с периодом ( 2\pi ).
   • Обозначьте максимальные и минимальные точки: максимальное значение (3) будет достигаться при ( x = 2k\pi ) (где ( k ) — целое число), а минимальное значение (-1) будет достигаться при ( x = (2k + 1)\pi ).

6. Рисование графика:

   • Начните с точки ( (0, -1) ).
   • Затем, в точках ( \frac{\pi}{3} ) и ( \frac{5\pi}{3} ) отметьте точки пересечения с осью ( x ).
   • Далее, в точках ( x = 0 ) и ( x = 2\pi ) отметьте максимумы (3).
   • Постепенно соединяйте точки, учитывая форму косинусоиды, изменённую в соответствии с описанными параметрами.

Теперь вы сможете нарисовать график функции ( y = -2\cos(x) + 1 ), который будет представлять собой периодическую волну, колеблющуюся между -1 и 3.

Для построения графика функции ( y = -2\cos x + 1 ), важно разобрать её основные свойства и шаги построения. Разберём всё поэтапно.

1. Базовая функция ( y = \cos x ):

• Графиком функции ( y = \cos x ) является косинусоида.
• Период функции ( y = \cos x ) равен ( 2\pi ), то есть график повторяется каждые ( 2\pi ).
• Значения функции колеблются в пределах от (-1) до ( 1).
• Основные ключевые точки для построения графика:
  • ( x = 0 ), ( y = 1 ),
  • ( x = \frac{\pi}{2} ), ( y = 0 ),
  • ( x = \pi ), ( y = -1 ),
  • ( x = \frac{3\pi}{2} ), ( y = 0 ),
  • ( x = 2\pi ), ( y = 1 ).

2. Умножение на коэффициент (-2):

При умножении косинусоиды на коэффициент (-2), происходят следующие изменения:

• Амплитуда (максимальное отклонение от оси ( x )) увеличивается в 2 раза. Теперь график колеблется от (-2) до ( 2).
• Отражение относительно оси ( x ): знак «(-)» переворачивает график косинусоиды. Например:
  • Если для ( y = \cos x ) при ( x = 0 ) было ( y = 1 ), то теперь при ( x = 0 ) будет ( y = -2 ).
  • Если ( y = \cos x ) при ( x = \pi ) было ( y = -1 ), то теперь ( y = 2 ).
• Таким образом, график становится растянутым и перевёрнутым.

3. Смещение на единицу вверх ((+1)):

При добавлении константы ( +1 ), весь график поднимается на 1 единицу вдоль оси ( y ). Это значит:

• Новый диапазон значений функции — от (-1) до ( 3) (бывшие минимумы и максимумы смещаются вверх).
• Например:
  • Если до смещения было ( y = -2 ), то теперь ( y = -2 + 1 = -1 ).
  • Если до смещения было ( y = 2 ), то теперь ( y = 2 + 1 = 3 ).

4. Итоговая функция ( y = -2\cos x + 1 ):

После всех преобразований, график функции будет:

• Периодическим (период по-прежнему ( 2\pi ), так как коэффициенты не влияют на частоту).
• Значения функции колеблются в диапазоне от (-1) до ( 3).
• Основные точки графика:
  • ( x = 0 ), ( y = -1 ),
  • ( x = \frac{\pi}{2} ), ( y = 1 ),
  • ( x = \pi ), ( y = 3 ),
  • ( x = \frac{3\pi}{2} ), ( y = 1 ),
  • ( x = 2\pi ), ( y = -1 ).

5. Алгоритм построения графика:

1. Начните с построения графика базовой функции ( y = \cos x ).
2. Умножьте значения ( y ) на (-2) (растяните и отразите график).
3. Поднимите весь график на 1 единицу вверх.
4. Отметьте на графике ключевые точки (как указано выше) и соедините их плавной волнообразной линией.

6. Примерный вид графика:

• График представляет собой косинусоиду, инвертированную, растянутую в 2 раза и поднятую на 1 единицу вверх.
• На интервале ( [0, 2\pi] ) график выглядит следующим образом:
  • Начинается в точке ( (0, -1) ),
  • Поднимается до ( (x = \pi, y = 3) ),
  • Возвращается в ( (x = 2\pi, y = -1) ).

Таким образом, график функции ( y = -2\cos x + 1 ) — это модифицированная косинусоида с изменённой амплитудой, направлением и вертикальным смещением.

Чтобы построить график функции ( y = -2\cos(x) + 1 ), следуйте этим шагам:

1. Определите амплитуду и сдвиг: Амплитуда равна 2, так как коэффициент перед косинусом -2. Сдвиг вверх на 1 означает, что весь график будет поднят на 1 единицу.

2. Найдите основные точки: Функция ( \cos(x) ) колеблется от -1 до 1. Следовательно, ( y ) будет колебаться от ( -2 + 1 = -1 ) до ( 2 + 1 = 3 ).

3. Постройте период: Период косинуса равен ( 2\pi ). График будет повторяться каждые ( 2\pi ).

4. Нанесите ключевые точки:

   • ( x = 0 ): ( y = -2\cos(0) + 1 = -2 \cdot 1 + 1 = -1 )
   • ( x = \pi ): ( y = -2\cos(\pi) + 1 = -2 \cdot (-1) + 1 = 3 )
   • ( x = \frac{\pi}{2} ): ( y = -2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = -2 \cdot 0 + 1 = 1 )
   • ( x = \frac{3\pi}{2} ): ( y = -2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -2 \cdot 0 + 1 = 1 )

5. Соедините точки: Начните с точки (0, -1), поднимитесь до (π, 3), затем вернитесь к (2π, -1), создавая волнообразную линию.

6. Отметьте отрицательный знак: График будет перевернут по сравнению с графиком стандартного косинуса.

Таким образом, вы получите график функции ( y = -2\cos(x) + 1 ).