Посторойте график функции у=(х-2)^2 -1.Укажите для этой функции:а)Область определения б)нули в)промежутки знакопостоянства г)промежутки возрастания и убывания д)область изменения рисовать не обязательно)
Посторойте график функции у=(х-2)^2 -1.Укажите для этой функции:а)Область определения б)нули в)промежутки знакопостоянства г)промежутки возрастания и убывания д)область изменения рисовать не обязательно)
График функции у=(х-2)^2 -1 представляет собой параболу, вершина которой находится в точке (2, -1).
а) Область определения функции y=(x-2)^2 -1 - это множество всех действительных чисел, так как функция определена для любого значения аргумента x.
б) Нули функции - это значения x, при которых y=0. Для данной функции у=(х-2)^2 -1 нули равны x=2.
в) Промежутки знакопостоянства функции нужно определить, решив неравенство (x-2)^2 -1 > 0. Получаем (x-2)^2 > 1, что эквивалентно |x-2| > 1. Решая это неравенство, получаем два промежутка для x: x < 1 и x > 3. Таким образом, функция положительна при x < 1 и x > 3, и отрицательна при 1 < x < 3.
г) Промежутки возрастания и убывания функции определяются производной функции. Производная функции у=(х-2)^2 -1 равна 2(x-2). Функция возрастает при x > 2 и убывает при x < 2.
д) Область изменения функции y=(x-2)^2 -1 - это множество всех значений y, которые может принимать функция. Так как квадратное выражение всегда неотрицательное, минимальное значение функции равно -1 (при x=2). Область изменения функции - это все значения y >= -1.
Давайте разберем функцию ( y = (x - 2)^2 - 1 ) по пунктам.
Область определения функции ( y = (x - 2)^2 - 1 ) — это множество всех значений ( x ), для которых функция имеет смысл. Поскольку в данной функции нет ограничений, связанных с корнями или делением на ноль, область определения — все действительные числа. [ \text{D}(y) = \mathbb{R} ]
Нули функции — это значения ( x ), при которых ( y = 0 ). [ (x - 2)^2 - 1 = 0 ] Решим уравнение: [ (x - 2)^2 = 1 ] Возьмем квадратный корень из обеих сторон: [ x - 2 = \pm 1 ] Отсюда получаем два нуля: [ x - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ] [ x - 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ]
Итак, нули функции: [ x = 1, \quad x = 3 ]
Для определения промежутков знакопостоянства, рассмотрим поведение функции на промежутках, разделенных нулями ( x = 1 ) и ( x = 3 ).
Для ( x < 1 ) (например, ( x = 0 )): [ y = (0 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 ] Функция положительна.
Для ( 1 < x < 3 ) (например, ( x = 2 )): [ y = (2 - 2)^2 - 1 = 0 - 1 = -1 ] Функция отрицательна.
Для ( x > 3 ) (например, ( x = 4 )): [ y = (4 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 ] Функция положительна.
Итак, промежутки знакопостоянства:
Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: [ y = (x - 2)^2 - 1 ] [ y' = 2(x - 2) ]
Производная равна нулю, когда: [ 2(x - 2) = 0 ] [ x = 2 ]
Теперь рассмотрим знаки производной на промежутках:
Для ( x < 2 ) (например, ( x = 1 )): [ y' = 2(1 - 2) = -2 ] Производная отрицательна, функция убывает.
Для ( x > 2 ) (например, ( x = 3 )): [ y' = 2(3 - 2) = 2 ] Производная положительна, функция возрастает.
Итак, промежутки возрастания и убывания:
Область изменения функции — это множество всех значений ( y ), которые функция принимает. Поскольку ( y = (x - 2)^2 - 1 ) — это парабола, ветви которой направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в вершине параболы ( x = 2 ).
Найдем значение функции в ( x = 2 ): [ y = (2 - 2)^2 - 1 = -1 ]
Поскольку парабола открывается вверх и стремится к бесконечности, область изменения функции: [ \text{E}(y) = [-1, +\infty) ]
а) Область определения: все действительные числа (х ∈ R) б) Нули: x = 2 в) Промежутки знакопостоянства: у < 0 при x ≠ 2, у > 0 при x ≠ 2 г) Промежутки возрастания: x < 2, промежутки убывания: x > 2 д) Область изменения: y ≥ -1
