Последовательность (xn)- геометрическая прогрессия, найти x5, если x1=3\4,q=2\3

Для решения задачи о нахождении пятого члена геометрической прогрессии, (x_5), нам нужно воспользоваться формулой общего члена геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Общий член (n)-й геометрической прогрессии (x_n) можно выразить формулой: [ x_n = x_1 \cdot q^{n-1} ]

где:

• (x_1) — первый член прогрессии,
• (q) — знаменатель прогрессии,
• (n) — номер члена прогрессии.

В нашем случае:

• (x_1 = \frac{3}{4}),
• (q = \frac{2}{3}),
• (n = 5).

Теперь подставим все известные значения в формулу:

[ x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} ] [ x_5 = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4} ]

Рассчитаем ( \left(\frac{2}{3}\right)^{4} ):

[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} ]

Теперь подставим это значение обратно в формулу для (x_5):

[ x_5 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} ]

Теперь умножим дроби:

[ x_5 = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 81} ]

Сократим числитель и знаменатель на 4:

[ x_5 = \frac{3 \cdot 4}{81} = \frac{12}{81} ]

И, наконец, сократим дробь (\frac{12}{81}) на общий делитель 3:

[ x_5 = \frac{4}{27} ]

Таким образом, пятый член геометрической прогрессии, (x_5), равен (\frac{4}{27}).

Для нахождения x5 в геометрической прогрессии необходимо воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:

xn = x1 * q^(n-1),

где xn - n-ый член прогрессии, x1 - первый член прогрессии, q - множитель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Из условия известно, что x1 = 3/4 и q = 2/3. Теперь подставим данные в формулу:

x5 = (3/4) (2/3)^(5-1) = (3/4) (2/3)^4 = (3/4) * (16/81) = 48/324 = 1/6.

Таким образом, пятый член заданной геометрической прогрессии равен 1/6.