Помогите вычислить предел lim ln(1+x)/x при х стремящемуся к 0. и если можно с решением, очень жду!...

Чтобы вычислить предел (\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}), мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, так как в этой форме предел имеет неопределенность вида (\frac{0}{0}).

Правило Лопиталя гласит, что если предел (\lim{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}) приводит к неопределенности (\frac{0}{0}) или (\frac{\infty}{\infty}), то этот предел можно вычислить как (\lim{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}), при условии, что этот новый предел существует.

Итак, применим правило Лопиталя:

1. Найдем производные числителя и знаменателя.

   • Производная от (\ln(1+x)) по (x) равна (\frac{1}{1+x}).
   • Производная от (x) по (x) равна (1).

2. Подставим производные в предел: [ \lim{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} ]

3. Теперь подставим (x = 0) в получившееся выражение: [ \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1+0} = 1 ]

Таким образом, предел (\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1).

Этот результат также можно интерпретировать с точки зрения разложения в ряд Тейлора. Разложение (\ln(1+x)) в окрестности (x = 0) имеет вид: [ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots ] Если подставить это в предел, мы получим: [ \frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots ] При (x \to 0) все члены, содержащие (x), стремятся к нулю, и в итоге предел равен 1.

Для вычисления данного предела воспользуемся правилом Лопиталя.

lim ln(1+x)/x = lim (1/(1+x)) / 1 = lim 1/(1+x) = 1/(1+0) = 1

Таким образом, предел данной функции при x стремящемся к 0 равен 1.

Ответ: Предел данного выражения равен 1.

Решение: Используем правило Лопиталя: lim ln(1+x)/x = lim (1/(1+x))/1 = lim 1/(1+x) = 1/(1+0) = 1.