Помогите вычислить предел lim ln$1+x$/x при х стремящемуся к 0. и если можно с решением, очень жду!...

Чтобы вычислить предел $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}$, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, так как в этой форме предел имеет неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Правило Лопиталя гласит, что если предел (\lim{x \to a} \frac{f$x$}{g$x$}) приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$ или $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, то этот предел можно вычислить как (\lim{x \to a} \frac{f'$x$}{g'$x$}), при условии, что этот новый предел существует.

Итак, применим правило Лопиталя:

1. Найдем производные числителя и знаменателя.

   • Производная от $\ln (1+x$) по $x$ равна $\frac{1}{1+x}$.
   • Производная от $x$ по $x$ равна $1$.

2. Подставим производные в предел: [ \lim{x \to 0} \frac{\ln$1+x$}{x} = \lim{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} ]

3. Теперь подставим $x=0$ в получившееся выражение: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+0}=1$

Таким образом, предел $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$.

Этот результат также можно интерпретировать с точки зрения разложения в ряд Тейлора. Разложение $\ln (1+x$) в окрестности $x=0$ имеет вид: $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ Если подставить это в предел, мы получим: $\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots }{x}=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-\cdots$ При $x\to 0$ все члены, содержащие $x$, стремятся к нулю, и в итоге предел равен 1.

Для вычисления данного предела воспользуемся правилом Лопиталя.

lim ln$1+x$/x = lim $1/(1+x$) / 1 = lim 1/$1+x$ = 1/$1+0$ = 1

Таким образом, предел данной функции при x стремящемся к 0 равен 1.

Ответ: Предел данного выражения равен 1.

Решение: Используем правило Лопиталя: lim ln$1+x$/x = lim $1/(1+x$)/1 = lim 1/$1+x$ = 1/$1+0$ = 1.