Помогите с решением tg^2x - 3tgx - 4=0

Для того чтобы решить уравнение tg^2x - 3tgx - 4 = 0, давайте введем новую переменную z = tgx. Тогда уравнение примет вид z^2 - 3z - 4 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной z. Для этого найдем его корни с помощью формулы дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 1, b = -3, c = -4. Подставим значения в формулу D: D = (-3)^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25.

Теперь найдем корни уравнения z^2 - 3z - 4 = 0 с помощью формулы корней квадратного уравнения: z = (-b ± √D) / 2a.

z1 = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4, z2 = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -1.

Теперь мы найдем обратные тригонометрические функции для полученных значений z, чтобы найти значения x: Для z1 = 4: x = arctg(4) + πn, n ∈ Z, Для z2 = -1: x = arctg(-1) + πn, n ∈ Z.

Итак, решения уравнения tg^2x - 3tgx - 4 = 0: x = arctg(4) + πn, x = arctg(-1) + πn, где n - целое число.

Конечно, давайте решим уравнение ( \tan^2(x) - 3\tan(x) - 4 = 0 ).

1. Замена переменной: Чтобы упростить уравнение, введем замену: ( t = \tan(x) ). Тогда уравнение примет вид: [ t^2 - 3t - 4 = 0 ]

2. Решение квадратного уравнения: Это уравнение является квадратным уравнением относительно переменной ( t ). Решим его с помощью дискриминанта. Квадратное уравнение имеет вид ( at^2 + bt + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ).

   Дискриминант ( \Delta ) рассчитывается по формуле: [ \Delta = b^2 - 4ac ] Подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ): [ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ]

3. Нахождение корней: Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ t{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ] Подставим значения ( a ), ( b ) и ( \Delta ): [ t{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} ] Тогда получаем два корня: [ t_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 ] [ t_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 ]

4. Возвращение к исходной переменной: Напомним, что ( t = \tan(x) ). Следовательно, у нас есть два уравнения: [ \tan(x) = 4 ] [ \tan(x) = -1 ]

5. Решение тригонометрических уравнений: Теперь решим каждое из уравнений:

   Для ( \tan(x) = 4 ): [ x = \arctan(4) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   Для ( \tan(x) = -1 ): [ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ] или, что эквивалентно, [ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общие решения уравнения ( \tan^2(x) - 3\tan(x) - 4 = 0 ) можно записать в виде: [ x = \arctan(4) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ] и [ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]