Помогите Решите систему уравнений: x+y=5 x^2-y^2=15

Чтобы решить систему уравнений:

1. ( x + y = 5 )
2. ( x^2 - y^2 = 15 )

мы можем воспользоваться методом замены и методом разности квадратов.

Шаг 1: Замена из первого уравнения

Из первого уравнения выразим ( y ) через ( x ): [ y = 5 - x ]

Шаг 2: Подстановка во второе уравнение

Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение: [ x^2 - (5 - x)^2 = 15 ]

Шаг 3: Упрощение второго уравнения

Раскроем квадрат: [ x^2 - (25 - 10x + x^2) = 15 ]

Упростим: [ x^2 - 25 + 10x - x^2 = 15 ]

Сокращаем ( x^2 ): [ 10x - 25 = 15 ]

Шаг 4: Решение упрощенного уравнения

Решим уравнение: [ 10x = 15 + 25 ] [ 10x = 40 ] [ x = 4 ]

Шаг 5: Найти ( y )

Теперь, подставим значение ( x ) в выражение для ( y ): [ y = 5 - x = 5 - 4 = 1 ]

Проверка решения

Подставим найденные значения ( x = 4 ) и ( y = 1 ) в оба исходных уравнения, чтобы убедиться в правильности решения:

1. ( x + y = 4 + 1 = 5 ) — верно.
2. ( x^2 - y^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15 ) — верно.

Таким образом, решение системы уравнений: [ x = 4, \quad y = 1 ]

x = 3, y = 2

Для решения данной системы уравнений подставим выражение для y из первого уравнения во второе: x^2 - (5-x)^2 = 15 x^2 - (25 - 10x + x^2) = 15 x^2 - 25 + 10x - x^2 = 15 10x - 25 = 15 10x = 40 x = 4

Теперь найдем значение y, подставив x=4 в первое уравнение: 4 + y = 5 y = 1

Итак, решение системы уравнений: x = 4 y = 1