Помогите решить уравнение Корень восьмой степени из х-2=-х+4
Помогите решить уравнение Корень восьмой степени из х-2=-х+4
Для решения данного уравнения мы возведем обе стороны уравнения в восьмую степень, чтобы избавиться от корня восьмой степени. Получим: x - 2 = (-x + 4)^8
Раскроем скобки в правой части уравнения: x - 2 = x^8 - 32x^7 + 384x^6 - 2048x^5 + 6144x^4 - 12288x^3 + 16384x^2 - 131072x + 65536
Теперь преобразуем уравнение, чтобы выразить все слагаемые с переменной x на одной стороне уравнения: x - x^8 + 32x^7 - 384x^6 + 2048x^5 - 6144x^4 + 12288x^3 - 16384x^2 + 131072x - 65538 = 0
Далее можно попробовать решить это уравнение численными методами или с помощью компьютерных программ.
x = 4096
Решим уравнение:
[ \sqrt[8]{x - 2} = -x + 4 ]
Чтобы избавиться от корня восьмой степени, возведем обе части уравнения в восьмую степень:
[ (\sqrt[8]{x - 2})^8 = (-x + 4)^8 ]
Это упростит уравнение до:
[ x - 2 = (-x + 4)^8 ]
Теперь предположим, что ( y = -x + 4 ). Тогда у нас получится:
[ x - 2 = y^8 ] [ x = -y + 4 ]
Подставим ( x = -y + 4 ) в уравнение ( x - 2 = y^8 ):
[ -y + 4 - 2 = y^8 ] [ -y + 2 = y^8 ] [ y^8 + y - 2 = 0 ]
Теперь у нас есть уравнение восьмой степени относительно переменной ( y ):
[ y^8 + y - 2 = 0 ]
Это уравнение достаточно сложно решить аналитически, но можно попытаться найти корни методом подбора или с помощью численных методов.
Давайте проверим несколько значений вручную:
Так, ( y = 1 ) является корнем уравнения.
Теперь вернемся к переменной ( x ):
[ y = 1 ] [ -x + 4 = 1 ] [ -x = 1 - 4 ] [ -x = -3 ] [ x = 3 ]
Проверим решение подстановкой обратно в оригинальное уравнение:
[ \sqrt[8]{3 - 2} = -3 + 4 ] [ \sqrt[8]{1} = 1 ] [ 1 = 1 ]
Это верно. Таким образом, ( x = 3 ) является решением уравнения.
Следовательно, решением уравнения
[ \sqrt[8]{x - 2} = -x + 4 ]
является ( x = 3 ).
