Помогите решить тригонометрическое уравнение sin5x = sinx

Для решения уравнения sin(5x) = sin(x) можно воспользоваться формулой синуса суммы: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применяя эту формулу к уравнению sin(5x) = sin(x), получим: sin(4x + x) = sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x) (sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x)) = sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x)

Таким образом, уравнение сводится к: sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x) = sin(x)

Раскроем синусы и косинусы через дополнительные углы: (2sin(2x)cos(2x))cos(x) + (2cos^2(2x) - 1)sin(x) = sin(x)

Преобразуем полученное уравнение: 2sin(2x)cos(2x)cos(x) + 2cos^2(2x)sin(x) - sin(x) = sin(x) 2sin(2x)cos(2x)cos(x) + 2cos^2(2x)sin(x) - 2sin(x) = 0

Далее можно продолжить упрощать уравнение и решить его численно или графически.

Для решения уравнения (\sin(5x) = \sin(x)) воспользуемся основными свойствами тригонометрических функций и методами решения тригонометрических уравнений.

Основное свойство синуса: (\sin(\alpha) = \sin(\beta)) тогда и только тогда, когда (\alpha = \beta + 2k\pi) или (\alpha = \pi - \beta + 2k\pi), где (k) — любое целое число.

Пусть (\alpha = 5x) и (\beta = x). Тогда уравнение (\sin(5x) = \sin(x)) распадается на два случая:

1. Первый случай: [ 5x = x + 2k\pi ]

   Решим это линейное уравнение: [ 5x - x = 2k\pi ] [ 4x = 2k\pi ] [ x = \frac{k\pi}{2} ]

2. Второй случай: [ 5x = \pi - x + 2k\pi ]

   Решим это линейное уравнение: [ 5x + x = \pi + 2k\pi ] [ 6x = \pi(2k + 1) ] [ x = \frac{\pi(2k + 1)}{6} ]

Теперь у нас есть два набора решений:

1. (x = \frac{k\pi}{2}), где (k \in \mathbb{Z})

2. (x = \frac{\pi(2k + 1)}{6}), где (k \in \mathbb{Z})

Эти выражения представляют собой все возможные решения уравнения (\sin(5x) = \sin(x)).

Для решения уравнения sin5x = sinx используйте тригонометрические тождества и найдите все возможные значения x.