Помогите решить систему уравнений с двумя переменным x^2-y=4 2y-x=7

Решение: 1) Выразим x из второго уравнения: x=2y-7 2) Подставим x в первое уравнение: (2y-7)^2 - y = 4 3) Решим полученное квадратное уравнение и найдем значения переменных x и y.

Для решения данной системы уравнений с двумя переменными можно использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания уравнений. Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания.

Имеем систему уравнений: 1) x^2 - y = 4 2) 2y - x = 7

Для начала выразим x из второго уравнения: 2y - x = 7 x = 2y - 7

Подставим это выражение в первое уравнение: (2y - 7)^2 - y = 4 Раскроем скобки: 4y^2 - 28y + 49 - y = 4 Упростим: 4y^2 - 29y + 45 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант: D = (-29)^2 - 4445 = 841 - 720 = 121

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня: y1 = (29 + √121) / 8 = 5 y2 = (29 - √121) / 8 = 4

Подставим найденные значения y обратно в уравнение x = 2y - 7: При y = 5: x = 25 - 7 = 3 При y = 4: x = 24 - 7 = 1

Итак, получили два решения системы уравнений: x = 3, y = 5 x = 1, y = 4

Для решения данной системы уравнений с двумя переменными, которая состоит из:

1. ( x^2 - y = 4 )
2. ( 2y - x = 7 )

мы можем использовать метод подстановки или метод алгебраического сложения. В данном случае воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Начнем со второго уравнения:

[ 2y - x = 7 ]

Выразим ( x ) через ( y ):

[ x = 2y - 7 ]

Шаг 2: Подставим выражение ( x ) в первое уравнение

Теперь подставим выражение для ( x ) в первое уравнение:

[ (2y - 7)^2 - y = 4 ]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно ( y )

Раскроем скобки в уравнении:

[ (2y - 7)^2 = 4y^2 - 28y + 49 ]

Теперь наше уравнение принимает вид:

[ 4y^2 - 28y + 49 - y = 4 ]

Упростим его:

[ 4y^2 - 29y + 49 = 4 ]

Перенесем 4 в левую часть уравнения:

[ 4y^2 - 29y + 45 = 0 ]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение стандартным способом через формулу корней:

Квадратное уравнение имеет вид ( ay^2 + by + c = 0 ), где ( a = 4 ), ( b = -29 ), ( c = 45 ).

Формула корней:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставим значения:

[ b^2 = (-29)^2 = 841 ]

[ 4ac = 4 \times 4 \times 45 = 720 ]

[ b^2 - 4ac = 841 - 720 = 121 ]

Теперь находим корни:

[ y = \frac{29 \pm \sqrt{121}}{8} ]

[ \sqrt{121} = 11 ]

Таким образом, получаем два значения для ( y ):

1. ( y_1 = \frac{29 + 11}{8} = \frac{40}{8} = 5 )

2. ( y_2 = \frac{29 - 11}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} )

Шаг 5: Найдем соответствующие значения ( x )

Теперь, когда у нас есть значения для ( y ), найдем соответствующие значения ( x ) используя выражение ( x = 2y - 7 ).

1. Для ( y_1 = 5 ):

[ x = 2 \times 5 - 7 = 10 - 7 = 3 ]

1. Для ( y_2 = \frac{9}{4} ):

[ x = 2 \times \frac{9}{4} - 7 = \frac{18}{4} - 7 = \frac{18}{4} - \frac{28}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} ]

Ответ

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (3, 5) )
2. ( \left(x, y\right) = \left(-\frac{5}{2}, \frac{9}{4}\right) )