Помогите решить систему уравнений методом подстановки 4x-y=2 x^2+y^2-xy=3

1. Решаем первое уравнение относительно y: y = 4x - 2
2. Подставляем найденное значение y во второе уравнение: x^2 + (4x - 2)^2 - x(4x - 2) = 3
3. Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения x
4. Подставляем найденные значения x обратно в первое уравнение и находим соответствующие значения y.

Для решения данной системы уравнений методом подстановки, сначала выразим одну переменную через другую из первого уравнения и подставим её во второе уравнение.

Дана система уравнений:

1. (4x - y = 2)
2. (x^2 + y^2 - xy = 3)

Шаг 1: Выразим (y) через (x) из первого уравнения.

[4x - y = 2 \implies y = 4x - 2]

Шаг 2: Подставим выражение для (y) во второе уравнение.

[x^2 + (4x - 2)^2 - x(4x - 2) = 3]

Раскроем скобки:

[x^2 + (16x^2 - 16x + 4) - (4x^2 - 2x) = 3]

Упростим выражение:

[x^2 + 16x^2 - 16x + 4 - 4x^2 + 2x = 3]

Соберём подобные члены:

[(x^2 + 16x^2 - 4x^2) + (-16x + 2x) + 4 = 3]

[13x^2 - 14x + 4 = 3]

Шаг 3: Перенесём 3 в левую часть уравнения:

[13x^2 - 14x + 4 - 3 = 0]

[13x^2 - 14x + 1 = 0]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант (D):

[D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 1]

[D = 196 - 52 = 144]

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных действительных корня:

[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]

[x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{144}}{26}]

[x_{1,2} = \frac{14 \pm 12}{26}]

Рассмотрим каждый корень:

1. (x_1 = \frac{14 + 12}{26} = \frac{26}{26} = 1)
2. (x_2 = \frac{14 - 12}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13})

Шаг 5: Найдём соответствующие значения (y) для каждого значения (x).

Для (x = 1): [y = 4 \cdot 1 - 2 = 2]

Для (x = \frac{1}{13}): [y = 4 \cdot \frac{1}{13} - 2 = \frac{4}{13} - \frac{26}{13} = \frac{-22}{13}]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ((x, y) = (1, 2))
2. ((x, y) = \left(\frac{1}{13}, \frac{-22}{13}\right))

Для решения данной системы уравнений методом подстановки, начнем с выражения одного из уравнений относительно одной из переменных и подстановки этого выражения в другое уравнение.

Из первого уравнения 4x - y = 2 следует, что y = 4x - 2. Подставим это выражение во второе уравнение:

x^2 + (4x - 2)^2 - x(4x - 2) = 3 x^2 + (16x^2 - 16x + 4) - (4x^2 - 2x) = 3 x^2 + 16x^2 - 16x + 4 - 4x^2 + 2x = 3 13x^2 - 14x + 4 = 3 13x^2 - 14x + 1 = 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 13x^2 - 14x + 1 = 0:

D = (-14)^2 - 4131 = 196 - 52 = 144 x1,2 = (14 ± √144) / 26 x1 = (14 + 12) / 26 = 26 / 26 = 1 x2 = (14 - 12) / 26 = 2 / 26 = 1/13

Таким образом, получаем два корня для x: x1 = 1 и x2 = 1/13. Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в уравнение y = 4x - 2:

Для x1 = 1: y = 41 - 2 = 4 - 2 = 2 Для x2 = 1/13: y = 4(1/13) - 2 = 4/13 - 2 = -22/13

Итак, решение системы уравнений методом подстановки: x1 = 1, y1 = 2 и x2 = 1/13, y2 = -22/13.