Помогите решить) Найдите интегралы: а) ∫ √3x+1 dx б) ∫ dx/(1+9x^2)
Помогите решить) Найдите интегралы: а) ∫ √3x+1 dx б) ∫ dx/(1+9x^2)
а) Для решения интеграла ∫ √(3x + 1) dx воспользуемся заменой переменной. Обозначим u = 3x + 1, тогда du = 3dx. Перепишем интеграл в новых переменных: ∫ √u (1/3) du. Теперь заметим, что √u = u^(1/2). Тогда интеграл примет вид ∫ u^(1/2) (1/3) du. Интегрируем это выражение: (1/3) (2/3) u^(3/2) + C, где C - произвольная константа интегрирования. Заменяем обратно u на 3x + 1 и получаем итоговый ответ: (2/9) * (3x + 1)^(3/2) + C.
б) Для решения интеграла ∫ dx / (1 + 9x^2) воспользуемся заменой переменной. Обозначим u = 3x, тогда du = 3dx. Перепишем интеграл в новых переменных: ∫ du / (1 + u^2). Данный интеграл является интегралом арктангенса: ∫ du / (1 + u^2) = arctan(u) + C. Заменяем обратно u на 3x и получаем итоговый ответ: arctan(3x) + C.
Конечно, давайте рассмотрим каждый из данных интегралов по отдельности.
Для решения этого интеграла сделаем замену переменной. Пусть ( u = 3x + 1 ). Тогда ( du = 3 \, dx ) или ( dx = \frac{du}{3} ).
Теперь перепишем интеграл в терминах ( u ):
[ \int \sqrt{3x+1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} ]
Вынесем константу (\frac{1}{3}) за знак интеграла:
[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du ]
Теперь интегрируем ( u^{1/2} ):
[ \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} u^{3/2} ]
Подставим это в наш интеграл:
[ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{2}{9} u^{3/2} ]
Теперь вернемся к исходной переменной ( x ):
[ u = 3x + 1 ]
Итак, окончательный ответ:
[ \int \sqrt{3x+1} \, dx = \frac{2}{9} (3x + 1)^{3/2} + C ]
где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.
Для этого интеграла применим стандартное подстановочное правило для арктангенса. Напомним, что:
[ \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C ]
Для нашего случая ( a = 3 ) (потому что ( 9x^2 = (3x)^2 )):
[ \int \frac{dx}{1 + 9x^2} = \int \frac{dx}{1 + (3x)^2} ]
Используем формулу:
[ \int \frac{dx}{1 + (3x)^2} = \frac{1}{3} \arctan (3x) + C ]
Итак, окончательный ответ:
[ \int \frac{dx}{1 + 9x^2} = \frac{1}{3} \arctan (3x) + C ]
где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.
Таким образом, мы получили решения для обоих интегралов.
