Помогите решить 2cos^2 x/2 - cos x/2 - 1=0

Данное уравнение можно решить, используя замену переменной. Пусть t = cos(x/2). Тогда уравнение примет вид 2t^2 - t - 1 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем значения переменной t, затем найдем cos(x/2) и, соответственно, x.

Для решения уравнения (2\cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - 1 = 0) используем замену переменной. Обозначим (y = \cos \frac{x}{2}). Тогда наше уравнение примет вид:

[2y^2 - y - 1 = 0.]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта:

[D = b^2 - 4ac,]

где (a = 2), (b = -1), (c = -1). Подставим значения:

[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два вещественных корня. Найдем их по формуле:

[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]

Подставим значения:

[y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}.]

Получаем два корня:

1. (y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1),
2. (y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}).

Теперь вернемся к замене, то есть (\cos \frac{x}{2} = y).

1. Для (y_1 = 1): [ \cos \frac{x}{2} = 1. ] Это происходит, когда (\frac{x}{2} = 2\pi k), где (k) — любое целое число. Следовательно, (x = 4\pi k).

2. Для (y_2 = -\frac{1}{2}): [ \cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}. ] Это происходит, когда (\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k), где (k) — любое целое число. Следовательно, (x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k).

Таким образом, общее решение уравнения:

[x = 4\pi k, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \quad x = -\frac{4\pi}{3} + 4\pi k,]

где (k) — любое целое число.

Для решения данного уравнения, давайте введем новую переменную: y = cos(x/2). Тогда уравнение примет вид:

2y^2 - y - 1 = 0.

Далее, решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 42(-1) = 9.

Итак, D > 0, следовательно, у уравнения два действительных корня:

y1 = (1 + √9) / 4 = 1 и y2 = (1 - √9) / 4 = -0.5.

Теперь найдем обратные значения косинуса:

cos(x/2) = 1 => x/2 = 0 => x = 0 + 2πk, где k - любое целое число. cos(x/2) = -0.5 => x/2 = 2π/3 + 2πk или x/2 = 4π/3 + 2πk, где k - любое целое число.

Таким образом, решения уравнения 2cos^2(x/2) - cos(x/2) - 1 = 0: x = 0 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk и x = 2π/3 + 2πk, где k - любое целое число.