Помогите пожалуйста , срочно надо Задание 1 Даны два неколлинеарных вектора a и b Построить : а)a+b...

Задание 1: а) a + b = a + b б) a - b = a - b в) 2a = 2a г) -1,5b = -1,5b

Задание 2: z = 2√2 * (cos(3π/4) + i sin(3π/4))

Задание 3: z = 2 * e^(iπ/3)

Задание 4: а) z1 * z2 = 6(cos(390°) + i sin(390°)) б) z1 / z2 = 3(cos(270°) + i sin(270°)) в) z⁴₂ = 16(cos(240°) + i sin(240°))

Задание 1:

a) Сложение векторов: для этого сложим соответствующие компоненты векторов a и b. a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

b) Вычитание векторов: для этого вычтем соответствующие компоненты векторов a и b. a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)

c) Умножение вектора на число: умножим каждую компоненту вектора a на 2. 2a = (2a₁, 2a₂)

d) Умножение вектора на число: умножим каждую компоненту вектора b на -1,5. -1,5b = (-1,5b₁, -1,5b₂)

Задание 2:

Комплексное число z = -2 - 2i можно записать в тригонометрической форме как: z = 2√2(cos(225°) + i sin(225°))

Задание 3:

Комплексное число z = -1 + i√3 можно записать в показательной форме как: z = 2(cos(120°) + i sin(120°))

Задание 4:

a) Умножение комплексных чисел z₁ и z₂: z₁ * z₂ = 6(cos(390°) + i sin(390°))

b) Деление комплексных чисел z₁ и z₂: z₁ / z₂ = 1,5(cos(270°) + i sin(270°))

c) Возведение комплексного числа z₂ в четвертую степень: z⁴₂ = 16(cos(240°) + i sin(240°))

Давайте разберем каждое из заданий по очереди.

Задание 1

Для выполнения операций с векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) нужно представить их геометрически или алгебраически. Предположим, что (\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix}) и (\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix}).

a) ( \mathbf{a} + \mathbf{b} ): Это векторная сумма, которая вычисляется по компонентам: [ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \ a_2 + b_2 \end{pmatrix} ]

b) ( \mathbf{a} - \mathbf{b} ): Это векторная разность, которая также вычисляется по компонентам: [ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \ a_2 - b_2 \end{pmatrix} ]

c) ( 2\mathbf{a} ): Это увеличение длины вектора ( \mathbf{a} ) в два раза: [ 2\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2a_1 \ 2a_2 \end{pmatrix} ]

d) (-1.5\mathbf{b} ): Это изменение длины вектора ( \mathbf{b} ) на коэффициент (-1.5), что также изменяет направление на противоположное: [ -1.5\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1.5b_1 \ -1.5b_2 \end{pmatrix} ]

Задание 2

Комплексное число ( z = -2 - 2i ) можно записать в тригонометрической форме. Для этого нам нужно найти модуль и аргумент числа.

1. Модуль: [ |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

2. Аргумент: Комплексное число находится в третьей четверти. Поэтому: [ \tan \theta = \frac{-2}{-2} = 1 \Rightarrow \theta = 225^\circ \text{ (или } \theta = \frac{5\pi}{4} \text{ радиан)} ]

Таким образом, тригонометрическая форма: [ z = 2\sqrt{2} \left( \cos 225^\circ + i \sin 225^\circ \right) ]

Задание 3

Комплексное число ( z = -1 + i\sqrt{3} ) можно записать в показательной форме. Сначала найдем модуль и аргумент.

1. Модуль: [ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ]

2. Аргумент: Комплексное число находится во второй четверти. Поэтому: [ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3} \Rightarrow \theta = 120^\circ \text{ (или } \theta = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан)} ]

Показательная форма: [ z = 2 e^{i \frac{2\pi}{3}} ]

Задание 4

Имеются два комплексных числа в тригонометрической форме:

( z_1 = 3 (\cos 330^\circ + i \sin 330^\circ) )

( z_2 = 2 (\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) )

a) Произведение ( z_1 \cdot z_2 ):

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме умножаем модули и складываем аргументы: [ z_1 \cdot z_2 = 3 \cdot 2 \left( \cos(330^\circ + 60^\circ) + i \sin(330^\circ + 60^\circ) \right) ] [ z_1 \cdot z_2 = 6 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right) ]

b) Частное ( \frac{z_1}{z_2} ):

Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме делим модули и вычитаем аргументы: [ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2} \left( \cos(330^\circ - 60^\circ) + i \sin(330^\circ - 60^\circ) \right) ] [ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2} \left( \cos 270^\circ + i \sin 270^\circ \right) ]

c) Возведение в степень ( z_2^4 ):

Для возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме возводим модуль в степень и умножаем аргумент на степень: [ z_2^4 = 2^4 \left( \cos(4 \cdot 60^\circ) + i \sin(4 \cdot 60^\circ) \right) ] [ z_2^4 = 16 \left( \cos 240^\circ + i \sin 240^\circ \right) ]

Надеюсь, это поможет вам справиться с заданиями!