Помогите пожалуйста с примером: (корень из (6+2 корня из 5))-(корень из (6-2 корня из 5))

Для решения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: (a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)).

Имеем: (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}).

Обозначим (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}) за (a) и (\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}) за (b).

Тогда наше выражение можно представить как (a - b).

Применим формулу разности квадратов: ((a + b)(a - b) = (a^2 - b^2)).

Подставим значения (a) и (b): ((\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{6 - 2\sqrt{5}})(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}) = (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}})^2 - (\sqrt{6 - 2\sqrt{5}})^2).

Рассчитаем квадраты: ((6 + 2\sqrt{5}) - (6 - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - (-2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}).

Итак, выражение (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}).

Давайте разберем выражение (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}).

Для начала, упростим каждое из подкоренных выражений по отдельности, если это возможно. В данном случае, выражения внутри корней (6 + 2\sqrt{5}) и (6 - 2\sqrt{5}) не являются полными квадратами, поэтому сразу не получится упростить их простым способом.

Однако существует метод, который поможет нам упростить это выражение. Он заключается в представлении подкоренных выражений в виде квадратов других выражений с корнями. Рассмотрим два числа:

[a = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}] [b = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}]

Теперь посмотрим на сумму квадратов этих чисел:

[a^2 + b^2 = (6 + 2\sqrt{5}) + (6 - 2\sqrt{5})] [a^2 + b^2 = 6 + 2\sqrt{5} + 6 - 2\sqrt{5} = 12]

Далее найдем произведение этих чисел:

[a^2 \cdot b^2 = (6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5})]

Используем формулу разности квадратов:

[a^2 \cdot b^2 = (6)^2 - (2\sqrt{5})^2] [a^2 \cdot b^2 = 36 - 4 \cdot 5] [a^2 \cdot b^2 = 36 - 20 = 16]

Следовательно, произведение чисел равно 16:

[ab = \sqrt{16} = 4]

Теперь мы имеем систему:

[a^2 + b^2 = 12] [ab = 4]

Теперь найдем (a - b). Используем формулу разности квадратов:

[(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab] [(a - b)^2 = 12 - 2 \cdot 4] [(a - b)^2 = 12 - 8 = 4]

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

[a - b = \sqrt{4} = 2]

Таким образом, значение выражения (\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}) равно 2.