Помогите пожалуйста решить √(x-2)+√(x+6)=4

Конечно, давайте разберем, как решить уравнение:

[ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 4 ]

Шаг 1: Изолируем один из корней. Для начала, перенесём один из корней на другую сторону уравнения. Например:

[ \sqrt{x-2} = 4 - \sqrt{x+6} ]

Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней.

[ (\sqrt{x-2})^2 = (4 - \sqrt{x+6})^2 ]

Тогда:

[ x - 2 = 16 - 8\sqrt{x+6} + (x + 6) ]

Шаг 3: Упростим выражение.

[ x - 2 = 16 + x + 6 - 8\sqrt{x+6} ]

[ x - 2 = x + 22 - 8\sqrt{x+6} ]

Шаг 4: Перенесем все выражения без корня на одну сторону уравнения.

[ x - x - 2 - 22 = -8\sqrt{x+6} ]

[ -24 = -8\sqrt{x+6} ]

Шаг 5: Разделим обе части уравнения на -8.

[ 3 = \sqrt{x+6} ]

Шаг 6: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня.

[ 3^2 = (\sqrt{x+6})^2 ]

[ 9 = x + 6 ]

Шаг 7: Решим полученное линейное уравнение.

[ x = 9 - 6 ]

[ x = 3 ]

Шаг 8: Проверим полученное значение, подставив его в оригинальное уравнение.

[ \sqrt{3-2} + \sqrt{3+6} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4 ]

Значит, ( x = 3 ) является правильным решением.

Ответ: ( x = 3 ).

Для решения данного уравнения сначала возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней. Получаем:

(x - 2) + 2√(x - 2)√(x + 6) + (x + 6) = 16

Упрощаем выражение:

2√(x - 2)√(x + 6) = 12

√(x - 2)√(x + 6) = 6

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат еще раз:

(x - 2)(x + 6) = 36

Раскрываем скобки:

x^2 + 6x - 2x - 12 = 36

x^2 + 4x - 12 = 36

x^2 + 4x - 48 = 0

Теперь решаем квадратное уравнение:

D = 4^2 - 41(-48) = 16 + 192 = 208

x1,2 = (-4 ± √208) / 2

x1 = (-4 + √208) / 2 ≈ 4.47

x2 = (-4 - √208) / 2 ≈ -8.47

Ответ: x ≈ 4.47 или x ≈ -8.47.

x=5