Помогите пожалуйста решить уравнение 1/(х-2)^2-1/х-2-6=0

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его к квадратному виду и решить полученное квадратное уравнение.

Для решения данного уравнения сначала приведем его к общему знаменателю:

1/(x-2)^2 - 1/(x-2) - 6 = 0

(x - 2 - (x - 2)^2 - 6(x - 2)^2) / (x - 2)^2 = 0

(x - 2 - x^2 + 4x - 4 - 6x^2 + 24x - 24) / (x - 2)^2 = 0

(-7x^2 + 28x - 30) / (x - 2)^2 = 0

Теперь умножим обе части уравнения на (x - 2)^2, чтобы избавиться от знаменателя:

-7x^2 + 28x - 30 = 0

Далее решим квадратное уравнение:

D = 28^2 - 4(-7)(-30) = 784 - 840 = -56

x = (-28 ± √(-56)) / -14 = (-28 ± 2i√14) / -14 = 2 ± i√14

Таким образом, корни уравнения равны x1 = 2 + i√14 и x2 = 2 - i√14.

Давайте решим уравнение:

[ \frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0 ]

Для начала введем замену переменной: ( y = x - 2 ). Тогда уравнение переписывается следующим образом:

[ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{y} - 6 = 0 ]

Теперь мы имеем дело с уравнением относительно ( y ). Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на ( y^2 ):

[ 1 - y - 6y^2 = 0 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:

[ -6y^2 - y + 1 = 0 ]

Умножим уравнение на -1, чтобы облегчить чтение:

[ 6y^2 + y - 1 = 0 ]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 6 ), ( b = 1 ), ( c = -1 ).

Подставим значения в формулу:

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} ]

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} ]

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} ]

[ y = \frac{-1 \pm 5}{12} ]

Получаем два возможных значения для ( y ):

1. ( y = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} )

2. ( y = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} )

Теперь вернемся к исходной переменной ( x ). Напомним, что ( y = x - 2 ), значит:

1. Если ( y = \frac{1}{3} ), то ( x = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} ).

2. Если ( y = -\frac{1}{2} ), то ( x = -\frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{3}{2} ).

Таким образом, уравнение имеет два решения:

[ x = \frac{7}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{3}{2} ]