Помогите пожалуйста решить : 1)6cos ^2 x -7 cos x-5=0 и найти все корни этого уравнения , принадлежащие...

Для решения уравнения (6\cos^2 x - 7\cos x - 5 = 0) введем новую переменную (t = \cos x). Тогда уравнение примет вид:

[6t^2 - 7t - 5 = 0.]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант (D) квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) находим по формуле:

[D = b^2 - 4ac.]

Подставляя значения, получаем:

[D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169.]

Тогда корни уравнения находятся по формуле:

[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{12} = \frac{7 \pm 13}{12}.]

Отсюда получаем два корня:

1. (t_1 = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}) (не подходит, так как (\cos x) принимает значения только в интервале ([-1, 1])),
2. (t_2 = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}).

Таким образом, единственным подходящим корнем является (t = -\frac{1}{2}).

Вернемся к исходной переменной (x), теперь нам нужно найти все (x) такие, что (\cos x = -\frac{1}{2}). Из тригонометрических соотношений известно, что (\cos x = -\frac{1}{2}) при (x = \frac{2\pi}{3}) и (x = \frac{4\pi}{3}).

Теперь проверим принадлежность найденных углов к отрезку ([ \pi, 2\pi ]):

• (\frac{2\pi}{3} \approx 2.09) не принадлежит отрезку ([ \pi, 2\pi ]),
• (\frac{4\pi}{3} \approx 4.19) принадлежит отрезку ([ \pi, 2\pi ]).

Таким образом, в указанном интервале у уравнения (6\cos^2 x - 7\cos x - 5 = 0) единственный корень:

[x = \frac{4\pi}{3}.]

Для решения данного уравнения сначала заметим, что это квадратное уравнение относительно cos x.

1) Представим уравнение в виде: 6(cos x)^2 - 7cos x - 5 = 0

2) Заметим, что это уравнение можно решить как обычное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 6, b = -7, c = -5

3) Найдем дискриминант: D = (-7)^2 - 46(-5) = 49 + 120 = 169

4) Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения: cos x = (-b ± √D) / 2a

5) Подставим значения: cos x = (7 ± √169) / 12

6) Получаем два значения: cos x1 = (7 + 13) / 12 = 20 / 12 = 5 / 3 и cos x2 = (7 - 13) / 12 = -6 / 12 = -1 / 2

7) Однако, угол cos x должен лежать на отрезке [π, 2π], значит cos x должен быть отрицательным. Таким образом, корень cos x = -1 / 2 подходит под условие.

8) Таким образом, корни уравнения 6(cos x)^2 - 7cos x - 5 = 0 на отрезке [π, 2π] равны cos x = -1 / 2.