Помогите пожалуйста найти наибольшее и наименьшее значение функции y=2cosx на отрезке {-п/4;3п/4} СРОЧНО!

Для функции ( y = 2 \cos x ) на отрезке ( \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right] ) найдем наибольшее и наименьшее значения.

1. Найдем значения функции на границах отрезка:

   • ( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} )
   • ( y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} )

2. Найдем критические точки, решая уравнение ( \cos x = 0 ):

   • ( x = \frac{\pi}{2} ) (в пределах отрезка).

   Тогда:

   • ( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 )

Теперь сравним все найденные значения:

• ( \sqrt{2} )
• ( 0 )
• ( -\sqrt{2} )

Наибольшее значение: ( \sqrt{2} )
Наименьшее значение: ( -\sqrt{2} )

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( y = 2 \cos x ) на заданном отрезке ( \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] ), нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение функции

Функция ( y = 2 \cos x ) — это косинусоидальная функция, которая изменяется между ( -2 ) и ( 2 ), так как максимальное значение косинуса равно 1, а минимальное — -1.

2. Найдем критические точки

Для нахождения экстремумов функции найдем производную:

[ \frac{dy}{dx} = -2 \sin x ]

Теперь найдем, где производная равна нулю:

[ -2 \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 0 ]

Решения уравнения ( \sin x = 0 ) на интервале ( \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] ):

[ x = 0 ]

3. Проверим границы отрезка

Теперь нам нужно проверить значения функции в критических точках и на границах отрезка:

• На границе ( x = -\frac{\pi}{4} ): [ y = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41 ]

• На границе ( x = \frac{3\pi}{4} ): [ y = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} \approx -1.41 ]

• В критической точке ( x = 0 ): [ y = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2 ]

4. Сравнение значений

Теперь мы сравним значения функции в найденных точках:

• ( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \approx 1.41 )
• ( y(0) = 2 )
• ( y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \approx -1.41 )

5. Результаты

На основании этих вычислений можно сделать следующие выводы:

• Наибольшее значение функции на отрезке ( \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right] ) равно ( 2 ) и достигается в точке ( x = 0 ).
• Наименьшее значение функции равно ( -\sqrt{2} ) и достигается в точке ( x = \frac{3\pi}{4} ).

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции ( y = 2 \cos x ) на заданном отрезке:

• Наибольшее значение: ( 2 )
• Наименьшее значение: ( -\sqrt{2} )

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ( y = 2\cos{x} ) на заданном отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right] ), следуем пошаговому алгоритму:

1. Анализ функции

Функция ( y = 2\cos{x} ) является модифицированной тригонометрической функцией ( \cos{x} ), умноженной на коэффициент ( 2 ). Это значит, что график функции ( \cos{x} ) растягивается вдвое по вертикали. Диапазон значений ( \cos{x} ) между (-1) и (1) теперь растянется в диапазон от (-2) до (2).

2. Определение критических точек

Чтобы найти критические точки, нужно найти производную функции ( y = 2\cos{x} ) и приравнять её к нулю:

[ y = 2\cos{x} \quad \Rightarrow \quad y' = -2\sin{x}. ]

Приравниваем производную к нулю:

[ -2\sin{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin{x} = 0. ]

Значение ( \sin{x} = 0 ) достигается, когда:

[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

На отрезке ( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right] ) среди таких точек удовлетворяет только ( x = 0 ).

Итак, критическая точка на заданном отрезке: ( x = 0 ).

3. Границы отрезка

Наибольшее и наименьшее значение функции также нужно проверять на границах отрезка. Границы отрезка: ( x = -\frac{\pi}{4} ) и ( x = \frac{3\pi}{4} ).

4. Вычисление значений функции

Теперь вычисляем значения функции ( y = 2\cos{x} ) в критической точке и на границах отрезка.

1. В точке ( x = -\frac{\pi}{4} ):

[ y = 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}. ]

1. В точке ( x = 0 ):

[ y = 2\cos{0} = 2 \cdot 1 = 2. ]

1. В точке ( x = \frac{3\pi}{4} ):

[ y = 2\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}. ]

5. Сравнение значений

Теперь сравниваем найденные значения:

• В точке ( x = -\frac{\pi}{4} ): ( y = \sqrt{2} \approx 1.41 ),
• В точке ( x = 0 ): ( y = 2 ),
• В точке ( x = \frac{3\pi}{4} ): ( y = -\sqrt{2} \approx -1.41 ).

Наибольшее значение: ( y_{\text{max}} = 2 ) при ( x = 0 ).

Наименьшее значение: ( y_{\text{min}} = -\sqrt{2} ) при ( x = \frac{3\pi}{4} ).

Ответ:

• Наибольшее значение функции: ( y_{\text{max}} = 2 ), достигается при ( x = 0 ).
• Наименьшее значение функции: ( y_{\text{min}} = -\sqrt{2} ), достигается при ( x = \frac{3\pi}{4} ).