Помогите пож постройте и прочитайте график функции у=х^5-1

Для построения графика функции y = x^5 - 1 необходимо использовать программу для построения графиков или математические инструменты, такие как GeoGebra или Desmos. График данной функции будет представлять собой кривую, проходящую через точку (-1, -2), (0, -1) и (1, 0) и имеющую характерный вид пятой степени.

На графике функции y = x^5 - 1 можно заметить, что при увеличении x функция стремится к бесконечности как при положительных, так и при отрицательных значениях x. График имеет точку перегиба в точке (0, -1) и в целом выглядит симметричным относительно оси y.

Конечно! Давайте рассмотрим функцию ( y = x^5 - 1 ) и построим её график, а также разберём, как читать этот график.

1. Анализ функции

Область определения

Функция ( y = x^5 - 1 ) определена для всех значений ( x ), то есть её область определения — это все действительные числа.

Чётность и нечётность

Функция ( y = x^5 - 1 ) является нечётной, так как она симметрична относительно начала координат. Это можно проверить, заменив ( x ) на (-x): [ y(-x) = (-x)^5 - 1 = -x^5 - 1 \neq -(x^5 - 1) ] (-y \neq y(-x)), следовательно, функция нечётная.

Пересечение с осями

• Пересечение с осью ( y ): Подставим ( x = 0 ): [ y = 0^5 - 1 = -1 ] График пересекает ось ( y ) в точке ( (0, -1) ).

• Пересечение с осью ( x ): Решим уравнение ( x^5 - 1 = 0 ): [ x^5 = 1 ] Единственное действительное решение — это ( x = 1 ). График пересекает ось ( x ) в точке ( (1, 0) ).

Поведение на бесконечности

• При ( x \to +\infty ), ( y \to +\infty ).
• При ( x \to -\infty ), ( y \to -\infty ).

2. Построение графика

Теперь, когда мы проанализировали функцию, можно приступить к построению графика.

• Форма графика: Поскольку степень многочлена нечётная, график будет иметь форму "куба", но более сглаженную, и будет проходить через точки, которые мы нашли: ( (0, -1) ) и ( (1, 0) ).

• Дополнительные точки: Для более точного изображения графика можно вычислить несколько дополнительных значений:

  • ( x = -1 ): ( y = (-1)^5 - 1 = -2 )
  • ( x = 2 ): ( y = 2^5 - 1 = 31 )
  • ( x = -2 ): ( y = (-2)^5 - 1 = -33 )

3. Чтение графика

• Начало координат: График проходит через точку ( (0, -1) ), что является точкой пересечения с осью ( y ).

• Рост и убывание: Функция возрастает на всём множестве действительных чисел, что видно по положительной производной, ( y' = 5x^4 ), которая всегда положительна для всех ( x \neq 0 ).

• Симметрия: Благодаря нечётности, график симметричен относительно начала координат.

• Преобладание: При больших значениях ( x ) график стремится к бесконечности, и при больших отрицательных ( x ) график стремится к минус бесконечности.

Заключение

График функции ( y = x^5 - 1 ) представляет собой плавную кривую, которая пересекает ось ( x ) в точке ( (1, 0) ) и ось ( y ) в точке ( (0, -1) ). Функция возрастает на всём множестве действительных чисел и является нечётной, что делает её симметричной относительно начала координат.