Помогииииите √2 sin x+1=0

Давайте разберем уравнение ( \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 ) шаг за шагом.

Шаг 1. Изолируем синус

Чтобы выразить ( \sin x ), перенесем ( 1 ) в правую часть уравнения:

[ \sqrt{2} \sin x = -1 ]

Теперь разделим обе стороны уравнения на ( \sqrt{2} ), чтобы получить выражение для ( \sin x ):

[ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} ]

Шаг 2. Упростим дробь

Часто требуется избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{2} ):

[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, уравнение сводится к следующему:

[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 3. Найдем угол, соответствующий значению ( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} )

Значение ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) связано с углами, кратными ( 45^\circ ) или ( \frac{\pi}{4} ) радиан. Синус отрицателен в третьей и четвертой четвертях тригонометрической окружности. Значит, мы ищем углы, где синус принимает значение ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ).

Основной угол, соответствующий ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ), это ( \frac{\pi}{4} ) (или ( 45^\circ )). Теперь учтем отрицательное значение синуса и расположение угла в третьей и четвертой четвертях.

Углы:

1. В третьей четверти: ( x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} )
2. В четвертой четверти: ( x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} )

Шаг 4. Общий вид решения

Синус — это периодическая функция с периодом ( 2\pi ). Поэтому к найденным решениям ( x = \frac{5\pi}{4} ) и ( x = \frac{7\pi}{4} ) нужно добавить полный период ( 2\pi n ), где ( n \in \mathbb{Z} ) (целое число).

Общий вид решения:

[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Ответ:

Решение уравнения ( \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 ):

[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Чтобы решить уравнение ( \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 ), сначала выразим ( \sin x ):

[ \sqrt{2} \sin x = -1 ] [ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь найдем значения ( x ). Угол ( x ), для которого ( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ), находится в третьем и четвертом квадрантах:

[ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение:

[ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Для решения уравнения (\sqrt{2} \sin x + 1 = 0) начнем с его преобразования.

1. Переносим единицу на другую сторону: [ \sqrt{2} \sin x = -1 ]

2. Делим обе стороны на (\sqrt{2}): [ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} ] Мы знаем, что (-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}).

3. Теперь находим углы (x), для которых (\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}). Значения синуса равны (-\frac{\sqrt{2}}{2}) в третьем и четвертом квадрантах. Это соответствует углам: [ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) — любое целое число.

4. Записываем окончательный ответ: Углы, удовлетворяющие уравнению (\sqrt{2} \sin x + 1 = 0), можно выразить как: [ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, у нас есть два семейства решений, которые можно записать в компактной форме.