Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, найдите произвол ную функции: а) y=x^3/3 - 2x^2 +...

а) Для функции y=x^3/3 - 2x^2 + 4x - 5 найдем производную: y' = d/dx $x^3/3$ - d/dx $2x^2$ + d/dx $4x$ - d/dx $5$ y' = $1/3$ 3x^2 - 22x + 4 - 0 y' = x^2 - 4x + 4

б) Для функции y= корень x +sin x/2 + x^2 tg2x найдем производную: y' = d/dx $sqrt(x$) + d/dx $sin(x$/2) + d/dx (x^2 tan$2x$) y' = $1/2$ x^$-1/2$ + $1/2$ cos$x$/2 + 2x $sec(2x$)^2 y' = 1/$2sqrt(x$) + $1/4$cos$x$ + 2x * $sec(2x$)^2

в) Для функции y= 1-cosx / 1+sinx найдем производную: y' = d/dx $1-cos(x$) / d/dx $1+sin(x$) y' = sin$x$ / $1+sin(x$)^2

Таким образом, мы использовали правила дифференцирования для нахождения производных данных функций.

а) y=x^3/3 - 2x^2 + 4x - 5 Производная функции y по x будет равна: y' = $1/3$ 3x^2 - 2 2x + 4 y' = x^2 - 4x + 4

б) y= корень x +sin x/2 + x^2 tg2x Производная функции y по x будет равна: y' = $1/2$ x^$-1/2$ + $1/2$ cos$x/2$ + 2x $1/co{s}^2(2x$) y' = 1/(2sqrt$x$) + 1/2 cos$x/2$ + 2x sec^2$2x$

в) y= 1-cosx / 1+sin x Производная функции y по x будет равна: y' = $0-(-sinx$) $1+sinx$ - $1-cosx$ $0+cosx$ / $1+sinx$^2 y' = sinx$1+sinx$ - $1-cosx$ * cosx / $1+sinx$^2 y' = sinx + sin^2$x$ - cosx + cos^2$x$ / $1+sinx$^2 y' = 1 + 2sinx + sin^2$x$ - cosx + 1 - sin^2$x$ / $1+sinx$^2 y' = 2sinx + 2 / $1+sinx$^2

Для нахождения производной функции будем использовать правила дифференцирования: правило степенной функции, правило суммы, правило произведения, правило частного и производные элементарных функций.

а) $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+4x-5$

1. Производная степенной функции: Если $y=x^n$, то $y^{\prime }=n{x}^{n-1}$.

   • $y_1=\frac{x^3}{3}$ имеет производную: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ \cdot 3x^{3-1} = x^2).

   • $y_2=-2x^2$ имеет производную: $-2\cdot 2x^{2-1}=-4x$.

   • $y_3=4x$ имеет производную: $4\cdot 1x^{1-1}=4$.

   • $y_4=-5$ — это константа, производная которой равна 0.

2. Суммируем производные: $y^{\prime }=x^2-4x+4$

б) $y=\sqrt{x}+\frac{\sin x}{2}+x^2\tan 2x$

1. Производная корня и синуса:

   • $y_1=\sqrt{x}=x^{1/2}$ имеет производную: $\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

   • $y_2=\frac{\sin x}{2}$ имеет производную: $\frac{1}{2}\cos x$.

2. Производная произведения: Если $y=u(x$v$x$ ), то $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

   • $u(x$ = x^2 ), производная $u^{\prime }(x$ = 2x ).

   • $v(x$ = \tan 2x ), производная $v^{\prime }(x$ = 2\sec^2 2x ).

   Тогда производная $x^2\tan 2x$: $y_3^{\prime }=2x\cdot \tan 2x+x^2\cdot 2{\sec }^{2}2x$

3. Суммируем производные: $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\cos x+2x\tan 2x+2x^2{\sec }^{2}2x$

в) $y=\frac{1-\cos x}{1+\sin x}$

1. Производная частного: Если $y=\frac{u(x)}{v(x)}$, то $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

   • $u(x$ = 1 - \cos x ), производная $u^{\prime }(x$ = \sin x ).

   • $v(x$ = 1 + \sin x ), производная $v^{\prime }(x$ = \cos x ).

2. Подставляем в формулу: $y^{\prime }=\frac{(\sin x)(1+\sin x)-(1-\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x{)}^2}$

3. Упрощаем числитель: $\sin x+{\sin }^{2}x-\cos x+{\cos }^{2}x$

   Известно, что ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, поэтому: $y^{\prime }=\frac{\sin x+1-\cos x}{(1+\sin x{)}^2}$

Таким образом, мы разобрали и нашли производные для каждой из функций, используя правила дифференцирования.