Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, найдите произвол ную функции: а) y=x^3/3 - 2x^2 +...

а) Для функции y=x^3/3 - 2x^2 + 4x - 5 найдем производную: y' = d/dx (x^3/3) - d/dx (2x^2) + d/dx (4x) - d/dx (5) y' = (1/3) 3x^2 - 22x + 4 - 0 y' = x^2 - 4x + 4

б) Для функции y= корень x +sin x/2 + x^2 tg2x найдем производную: y' = d/dx (sqrt(x)) + d/dx (sin(x)/2) + d/dx (x^2 tan(2x)) y' = (1/2) x^(-1/2) + (1/2) cos(x)/2 + 2x (sec(2x))^2 y' = 1/(2sqrt(x)) + (1/4)cos(x) + 2x * (sec(2x))^2

в) Для функции y= 1-cosx / 1+sinx найдем производную: y' = d/dx (1-cos(x)) / d/dx (1+sin(x)) y' = sin(x) / (1+sin(x))^2

Таким образом, мы использовали правила дифференцирования для нахождения производных данных функций.

а) y=x^3/3 - 2x^2 + 4x - 5 Производная функции y по x будет равна: y' = (1/3) 3x^2 - 2 2x + 4 y' = x^2 - 4x + 4

б) y= корень x +sin x/2 + x^2 tg2x Производная функции y по x будет равна: y' = (1/2) x^(-1/2) + (1/2) cos(x/2) + 2x (1/cos^2(2x)) y' = 1/(2sqrt(x)) + 1/2 cos(x/2) + 2x sec^2(2x)

в) y= 1-cosx / 1+sin x Производная функции y по x будет равна: y' = (0 - (-sinx)) (1 + sinx) - (1 - cosx) (0 + cosx) / (1 + sinx)^2 y' = sinx(1 + sinx) - (1 - cosx) * cosx / (1 + sinx)^2 y' = sinx + sin^2(x) - cosx + cos^2(x) / (1 + sinx)^2 y' = 1 + 2sinx + sin^2(x) - cosx + 1 - sin^2(x) / (1 + sinx)^2 y' = 2sinx + 2 / (1 + sinx)^2

Для нахождения производной функции будем использовать правила дифференцирования: правило степенной функции, правило суммы, правило произведения, правило частного и производные элементарных функций.

а) ( y = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x - 5 )

1. Производная степенной функции: Если ( y = x^n ), то ( y' = nx^{n-1} ).

   • ( y_1 = \frac{x^3}{3} ) имеет производную: (\left(\frac{1}{3}\right) \cdot 3x^{3-1} = x^2).

   • ( y_2 = -2x^2 ) имеет производную: (-2 \cdot 2x^{2-1} = -4x).

   • ( y_3 = 4x ) имеет производную: (4 \cdot 1x^{1-1} = 4).

   • ( y_4 = -5 ) — это константа, производная которой равна 0.

2. Суммируем производные: [ y' = x^2 - 4x + 4 ]

б) ( y = \sqrt{x} + \frac{\sin x}{2} + x^2 \tan 2x )

1. Производная корня и синуса:

   • ( y_1 = \sqrt{x} = x^{1/2} ) имеет производную: (\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}).

   • ( y_2 = \frac{\sin x}{2} ) имеет производную: (\frac{1}{2} \cos x).

2. Производная произведения: Если ( y = u(x)v(x) ), то ( y' = u'v + uv' ).

   • ( u(x) = x^2 ), производная ( u'(x) = 2x ).

   • ( v(x) = \tan 2x ), производная ( v'(x) = 2\sec^2 2x ).

   Тогда производная ( x^2 \tan 2x ): [ y_3' = 2x \cdot \tan 2x + x^2 \cdot 2\sec^2 2x ]

3. Суммируем производные: [ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2} \cos x + 2x \tan 2x + 2x^2 \sec^2 2x ]

в) ( y = \frac{1 - \cos x}{1 + \sin x} )

1. Производная частного: Если ( y = \frac{u(x)}{v(x)} ), то [ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

   • ( u(x) = 1 - \cos x ), производная ( u'(x) = \sin x ).

   • ( v(x) = 1 + \sin x ), производная ( v'(x) = \cos x ).

2. Подставляем в формулу: [ y' = \frac{(\sin x)(1 + \sin x) - (1 - \cos x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2} ]

3. Упрощаем числитель: [ \sin x + \sin^2 x - \cos x + \cos^2 x ]

   Известно, что (\sin^2 x + \cos^2 x = 1), поэтому: [ y' = \frac{\sin x + 1 - \cos x}{(1 + \sin x)^2} ]

Таким образом, мы разобрали и нашли производные для каждой из функций, используя правила дифференцирования.