Пользуясь определением , найдите производную функции f(x)=x^2+4x-6

f'(x) = 2x + 4

Чтобы найти производную функции ( f(x) = x^2 + 4x - 6 ), воспользуемся определением производной. Производная функции в точке ( x ) определяется как предел приращения функции к приращению аргумента, стремящемуся к нулю:

[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} ]

Подставим функцию ( f(x) = x^2 + 4x - 6 ) в это определение:

1. Найдем ( f(x + \Delta x) ): [ f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 4(x + \Delta x) - 6 ] Раскроем скобки: [ = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + (4x + 4\Delta x) - 6 ] [ = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 4x + 4\Delta x - 6 ]

2. Теперь найдем разность ( f(x + \Delta x) - f(x) ): [ f(x + \Delta x) - f(x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 4x + 4\Delta x - 6) - (x^2 + 4x - 6) ] Упростим выражение: [ = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 4\Delta x ]

3. Подставим это в определение производной: [ f'(x) = \lim{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 4\Delta x}{\Delta x} ] Вынесем (\Delta x) за скобки в числителе: [ = \lim{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 4)}{\Delta x} ] Сократим (\Delta x): [ = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 4) ]

4. Найдем предел при (\Delta x \to 0): [ f'(x) = 2x + 4 ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = x^2 + 4x - 6 ) равна ( f'(x) = 2x + 4 ).

Для нахождения производной функции f(x)=x^2+4x-6 сначала выразим ее как сумму произведения и сложения функций. Тогда f(x) = x^2 + 4x - 6 = x^2 + 4x + (-6).

Теперь найдем производные каждого слагаемого по отдельности. По правилу дифференцирования степенной функции производная функции x^2 равна 2x. По тому же правилу производная функции 4x равна 4. Производная константы (-6) равна 0.

Итак, производная функции f(x) = x^2 + 4x - 6 равна f'(x) = 2x + 4.