Подберите формулу n-го члена последовательности 2/1;3/3;4/5;5/7;6/9;.

Для данной последовательности можно заметить, что числитель каждого члена последовательности соответствует значению переменной n, а знаменатель равен числу n плюс 1. Таким образом, формула n-го члена последовательности будет выглядеть как n/(n+1).

Для нахождения формулы n-го члена данной последовательности, сначала проанализируем её структуру. Последовательность представлена дробями:

[ \frac{2}{1}, \frac{3}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{7}, \frac{6}{9}, \ldots ]

Числитель

Рассмотрим числители последовательности: 2, 3, 4, 5, 6. Они образуют арифметическую прогрессию, которая начинается с 2 и имеет разность 1. Формула n-го члена для числителей:

[ a_n = n + 1 ]

Знаменатель

Теперь рассмотрим знаменатели последовательности: 1, 3, 5, 7, 9. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию, которая начинается с 1 и имеет разность 2. Формула n-го члена для знаменателей:

[ b_n = 2n - 1 ]

Формула n-го члена последовательности

Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем формулу n-го члена последовательности:

[ \frac{n+1}{2n-1} ]

Проверка

Проверим первые несколько членов последовательности с помощью найденной формулы:

1. Для ( n = 1 ): [ \frac{1+1}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{1} ]

2. Для ( n = 2 ): [ \frac{2+1}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{3}{3} ]

3. Для ( n = 3 ): [ \frac{3+1}{2 \cdot 3 - 1} = \frac{4}{5} ]

4. Для ( n = 4 ): [ \frac{4+1}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{5}{7} ]

5. Для ( n = 5 ): [ \frac{5+1}{2 \cdot 5 - 1} = \frac{6}{9} ]

Все расчеты соответствуют данному ряду, следовательно, формула ( \frac{n+1}{2n-1} ) корректно описывает n-й член последовательности.

n-ый член последовательности равен (n+1)/(2n+1)