Под корнем 25х(в третьей)у(в седьмой) . вынести множитель из под Корня

Чтобы вынести множитель из под корня, нужно использовать свойства корней и степень. Рассмотрим выражение ( \sqrt{25x^3y^7} ).

1. Разделим подкоренное выражение на множители: [ 25x^3y^7 = 25 \cdot x^3 \cdot y^7 ]

2. Вынесем корни из каждого множителя по отдельности:

   • ( \sqrt{25} = 5 ) (так как ( 25 = 5^2 ))
   • Для ( x^3 ): ( x^3 = x^2 \cdot x ). Таким образом, ( \sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = x \sqrt{x} ) (так как ( \sqrt{x^2} = x ))
   • Для ( y^7 ): ( y^7 = y^6 \cdot y = (y^3)^2 \cdot y ). Следовательно, ( \sqrt{y^7} = \sqrt{y^6 \cdot y} = \sqrt{y^6} \cdot \sqrt{y} = y^3 \sqrt{y} ) (так как ( \sqrt{y^6} = y^3 ))

3. Теперь подставим все найденные значения обратно: [ \sqrt{25x^3y^7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^3} \cdot \sqrt{y^7} = 5 \cdot x \sqrt{x} \cdot y^3 \sqrt{y} ]

4. Соберем всё вместе: [ \sqrt{25x^3y^7} = 5xy^3 \sqrt{xy} ]

Итак, окончательный ответ: [ \sqrt{25x^3y^7} = 5xy^3 \sqrt{xy} ] Мы смогли вынести множитель ( 5xy^3 ) из под корня, оставив ( \sqrt{xy} ) под корнем.

Чтобы вынести множитель из под корня ( \sqrt[3]{25x^1y^7} ), нужно разбить выражение на множители:

1. ( 25 = 5^2 )
2. ( x^1 = x )
3. ( y^7 = y^6 \cdot y = (y^2)^3 \cdot y )

Теперь записываем под корнем:

[ \sqrt[3]{25x^1y^7} = \sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y^6} \cdot \sqrt[3]{y} ]

Извлекаем кубический корень:

[ = \sqrt[3]{5^2} \cdot y^2 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} ]

Таким образом, вынесенный множитель:

[ y^2 \cdot \sqrt[3]{5^2xy} ]

Давайте рассмотрим задачу подробно: требуется вынести множитель из-под корня для выражения (\sqrt{25x^3y^7}).

Шаг 1. Разобьем выражение под корнем

Под корнем у нас стоит произведение: ( \sqrt{25x^3y^7} ). Это выражение можно разбить на несколько корней: [ \sqrt{25x^3y^7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^3} \cdot \sqrt{y^7}. ]

Теперь разберемся с каждым из этих корней по отдельности.

Шаг 2. Упростим (\sqrt{25})

(\sqrt{25} = 5), поскольку (5^2 = 25). Таким образом, это число можно вынести из-под корня.

Шаг 3. Упростим (\sqrt{x^3})

Для упрощения (\sqrt{x^3}) вспомним, что (x^3 = x^2 \cdot x). Тогда: [ \sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}. ] Здесь (\sqrt{x^2} = x) (если (x \geq 0)). Остается под корнем только (\sqrt{x}).

Таким образом: [ \sqrt{x^3} = x\sqrt{x}. ]

Шаг 4. Упростим (\sqrt{y^7})

Для (\sqrt{y^7}) применим аналогичный метод: представим (y^7) как (y^6 \cdot y). Тогда: [ \sqrt{y^7} = \sqrt{y^6 \cdot y} = \sqrt{y^6} \cdot \sqrt{y}. ] Здесь (\sqrt{y^6} = y^3) (так как (y^3 \cdot y^3 = y^6)). Остается под корнем (\sqrt{y}).

Таким образом: [ \sqrt{y^7} = y^3\sqrt{y}. ]

Шаг 5. Соберем всё вместе

Теперь вернемся к исходному выражению: [ \sqrt{25x^3y^7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^3} \cdot \sqrt{y^7}. ] Подставим упрощенные результаты: [ \sqrt{25x^3y^7} = 5 \cdot x\sqrt{x} \cdot y^3\sqrt{y}. ] Объединим всё: [ \sqrt{25x^3y^7} = 5x y^3 \cdot \sqrt{xy}. ]

Ответ:

[ \sqrt{25x^3y^7} = 5x y^3 \sqrt{xy}. ]

Если (x) и (y) гарантированно положительные, то это окончательный ответ. Если (x) и (y) могут быть отрицательными, то нужно учитывать модули. В этом случае ответ будет: [ \sqrt{25x^3y^7} = 5|x| y^3 \sqrt{xy}. ]