Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 15 минут, а первый и третий...

За 6 минут.

Давайте обозначим скорость работы каждого насоса как 1/х, 1/у и 1/ z бассейна в минуту соответственно. Тогда сумма скоростей работы всех трех насосов будет равна скорости, с которой все они работают вместе, то есть 1/х + 1/у + 1/z = 1/10 + 1/15 + 1/18.

Для того чтобы найти общее время, за которое все три насоса заполнят бассейн, нужно найти обратное значение от суммы их скоростей. То есть:

1 / (1/10 + 1/15 + 1/18) = 1 / (3/90 + 2/90 + 5/90) = 1 / 10/90 = 90/10 = 9 минут.

Таким образом, все три насоса заполнят бассейн, работая вместе, за 9 минут.

Давайте обозначим скорость работы каждого насоса следующим образом:

• Первый насос наполняет бассейн со скоростью ( \frac{1}{x} ) бассейна в минуту.
• Второй насос наполняет бассейн со скоростью ( \frac{1}{y} ) бассейна в минуту.
• Третий насос наполняет бассейн со скоростью ( \frac{1}{z} ) бассейна в минуту.

Составим уравнения, основываясь на данных:

1. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} ]

2. Второй и третий насосы наполняют бассейн за 15 минут: [ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{15} ]

3. Первый и третий насосы наполняют бассейн за 18 минут: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{18} ]

Теперь у нас есть система из трёх уравнений: [ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{15} \ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{18} \end{cases} ]

Для решения этой системы, сложим все три уравнения: [ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) + \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{z} \right) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} ]

Теперь сгруппируем: [ 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} ]

Найдём общий знаменатель для правой части: [ \frac{1}{10} = \frac{9}{90}, \quad \frac{1}{15} = \frac{6}{90}, \quad \frac{1}{18} = \frac{5}{90} ]

Сложим дроби: [ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} + \frac{5}{90} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} ]

Таким образом: [ 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = \frac{2}{9} ]

Разделим обе части на 2: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{9} ]

Это означает, что все три насоса вместе наполняют бассейн со скоростью ( \frac{1}{9} ) бассейна в минуту. Следовательно, время, за которое все три насоса вместе наполнят бассейн, равно 9 минутам.

Таким образом, три насоса, работая вместе, заполнят бассейн за 9 минут.