Первый член арифметической прогрессии равен 7. найдите ее второй и третий члены, если известно что они...

Чтобы решить задачу, необходимо воспользоваться свойствами арифметической прогрессии и условиями, данными в задаче.

1. Определим основные параметры:

   • Первый член арифметической прогрессии ( a_1 = 7 ).
   • Второй член прогрессии ( a_2 ) и третий член ( a_3 ) являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

2. Запишем формулы для членов арифметической прогрессии:

   • ( a_2 = a_1 + d ), где ( d ) — разность прогрессии.
   • ( a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d ).

3. Обозначим последовательные натуральные числа: Пусть ( n ) — некоторое натуральное число. Тогда квадратами последовательных натуральных чисел будут числа ( n^2 ) и ( (n+1)^2 ).

4. Запишем условия для ( a_2 ) и ( a_3 ):

   • ( a_2 = n^2 )
   • ( a_3 = (n+1)^2 )

5. Подставим выражения для членов арифметической прогрессии:

   • ( a_2 = 7 + d = n^2 )
   • ( a_3 = 7 + 2d = (n+1)^2 )

6. Решим систему уравнений: Из первого уравнения: [ d = n^2 - 7 ]

   Подставим это выражение во второе уравнение: [ 7 + 2(n^2 - 7) = (n+1)^2 ]

   Упростим: [ 7 + 2n^2 - 14 = n^2 + 2n + 1 ]

   [ 2n^2 - 7 = n^2 + 2n + 1 ]

   [ n^2 - 2n - 8 = 0 ]

7. Решим квадратное уравнение: [ n^2 - 2n - 8 = 0 ]

   Найдем корни по формуле квадратного уравнения: [ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -8 ).

   [ n = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} ] [ n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} ] [ n = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} ] [ n = \frac{2 \pm 6}{2} ]

   Решения: [ n = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{или} \quad n = \frac{-4}{2} = -2 ]

   Поскольку ( n ) должно быть натуральным числом, выбираем ( n = 4 ).

8. Вычислим второй и третий члены прогрессии:

   • ( a_2 = n^2 = 4^2 = 16 )
   • ( a_3 = (n+1)^2 = 5^2 = 25 )

Таким образом, второй член арифметической прогрессии равен 16, а третий — 25.

Для решения данной задачи нам необходимо выразить второй и третий члены арифметической прогрессии через первый член.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен 7, то есть a1 = 7. Также известно, что второй и третий члены являются квадратами двух последовательных натуральных чисел. Пусть эти числа будут n и n+1.

Тогда второй член арифметической прогрессии будет равен a2 = a1 + d, где d - шаг прогрессии. Так как второй член является квадратом натурального числа n, то можем записать:

a2 = 7 + d = n^2

Третий член арифметической прогрессии будет равен a3 = a2 + d:

a3 = n^2 + d = (n+1)^2

Решив систему уравнений, получим:

n^2 + d = n^2 + 2n + 1

d = 2n + 1

Таким образом, второй член прогрессии равен n^2, а третий - (n+1)^2.