Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника. Полное...

Обозначим стороны прямоугольника через а и b. Тогда из условия задачи у нас есть два уравнения:

2a + 2b = 14 (уравнение периметра) a^2 + b^2 = 5^2 (уравнение диагонали)

Из первого уравнения найдем выражение для одной из сторон:

a = 7 - b

Подставим это выражение во второе уравнение:

(7 - b)^2 + b^2 = 25 49 - 14b + b^2 + b^2 = 25 2b^2 - 14b + 24 = 0 b^2 - 7b + 12 = 0 (b - 3)(b - 4) = 0

Отсюда получаем два возможных значения b: 3 и 4. Подставим их обратно в выражение для стороны a:

a1 = 7 - 3 = 4 a2 = 7 - 4 = 3

Итак, стороны прямоугольника равны 4 см и 3 см.

Для решения задачи используем свойства прямоугольника и несколько уравнений. Пусть длины сторон прямоугольника будут ( a ) и ( b ).

1. Периметр прямоугольника: [ P = 2(a + b) = 14 \implies a + b = 7 ]

2. Диагональ прямоугольника: По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю, имеем: [ a^2 + b^2 = 5^2 = 25 ]

Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} a + b = 7 \ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} ]

1. Решение системы уравнений: Из первого уравнения выразим ( b ): [ b = 7 - a ]

   Подставим это выражение во второе уравнение: [ a^2 + (7-a)^2 = 25 ]

   Раскроем скобки и упростим: [ a^2 + (7-a)^2 = a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 ] [ 2a^2 - 14a + 49 = 25 ]

   Приведем к стандартному виду: [ 2a^2 - 14a + 24 = 0 ]

   Разделим все уравнение на 2: [ a^2 - 7a + 12 = 0 ]

2. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( b = -7 ), ( a = 1 ), ( c = 12 ).

   [ a = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} ] [ a = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} ] [ a = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} ] [ a_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4, \quad a_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 ]

3. Определение сторон: Если ( a = 4 ), то ( b = 7 - 4 = 3 ). Если ( a = 3 ), то ( b = 7 - 3 = 4 ).

Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.