Пересечения графиков функций y=5/x и y=x+4

Чтобы найти точки пересечения графиков функций ( y = \frac{5}{x} ) и ( y = x + 4 ), необходимо решить уравнение, в котором обе функции равны друг другу:

[ \frac{5}{x} = x + 4 ]

Решим это уравнение. Во-первых, избавимся от дроби, умножив каждую часть уравнения на ( x ) (предполагая, что ( x \neq 0 )):

[ 5 = x(x + 4) ]

Раскроем скобки:

[ 5 = x^2 + 4x ]

Приведем уравнение к стандартной форме квадратного уравнения:

[ x^2 + 4x - 5 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их с помощью формулы квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} ]

Вычислим корни:

1. ( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 )
2. ( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 )

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого из ( x ):

1. Для ( x_1 = 1 ):

   [ y = x + 4 = 1 + 4 = 5 ]

2. Для ( x_2 = -5 ):

   [ y = x + 4 = -5 + 4 = -1 ]

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках:

1. ( (1, 5) )
2. ( (-5, -1) )

Эти точки являются решениями системы уравнений и представляют собой точки пересечения графиков данных функций.

Для того чтобы найти точку пересечения графиков функций y=5/x и y=x+4, нужно решить систему уравнений, которую образуют эти два уравнения.

Сначала подставим y=x+4 в уравнение y=5/x:

x + 4 = 5/x

Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от знаменателя:

x^2 + 4x = 5

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 + 4x - 5 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем два корня x1 и x2. Подставив их обратно в уравнение y=x+4, найдем соответствующие значения y1 и y2.

Таким образом, точки пересечения графиков функций y=5/x и y=x+4 будут представлены координатами (x1, y1) и (x2, y2).