Определите знак числа: а) sin 2; б) cos 14π/11; а) cos 6; б) sin (-5π/9).

Для определения знаков тригонометрических функций синуса и косинуса необходимо учитывать их периодичность и симметрию на тригонометрическом круге, а также понимание в каких квадрантах данные функции принимают положительные или отрицательные значения.

а) (\sin 2)

Значение угла (2) радиан находится в пределах ( [0, 2\pi] ). Напомним, что (2\pi \approx 6.28) радиан. Следовательно, (2) радиан находится в первом квадранте (0 до (\pi/2 \approx 1.57) радиан) или во втором квадранте ((\pi/2) до (\pi \approx 3.14) радиан).

В первом квадранте синус положителен, а во втором квадранте синус также положителен. Поскольку (2) радиан находится ближе ко второму квадранту, мы можем заключить, что:

[ \sin 2 > 0 ]

б) (\cos \frac{14\pi}{11})

Для определения знака косинуса угла (\frac{14\pi}{11}), преобразуем данный угол в более удобную форму. Поскольку (\pi \approx 3.14), то:

[ \frac{14\pi}{11} = \frac{14 \times 3.14}{11} \approx 4 ]

Теперь выясним, в каком квадранте находится угол (4) радиана. Поскольку (2\pi \approx 6.28), угол (4) радиан находится в третьем квадранте ((\pi) до (3\pi/2 \approx 4.71)).

В третьем квадранте косинус отрицателен, следовательно:

[ \cos \frac{14\pi}{11} < 0 ]

в) (\cos 6)

Угол (6) радиан находится между (0) и (2\pi \approx 6.28), соответственно, он находится в четвертом квадранте ((3\pi/2 \approx 4.71) до (2\pi \approx 6.28)).

В четвертом квадранте косинус положителен, следовательно:

[ \cos 6 > 0 ]

г) (\sin \left( -\frac{5\pi}{9} \right))

Для определения знака синуса отрицательного угла, вспомним, что синус является нечетной функцией, то есть (\sin(-x) = -\sin(x)). Рассмотрим сначала знак (\sin \frac{5\pi}{9}).

[ \frac{5\pi}{9} \approx 1.75 ]

Этот угол находится во втором квадранте ((\pi/2 \approx 1.57) до (\pi \approx 3.14)), где синус положителен. Следовательно:

[ \sin \frac{5\pi}{9} > 0 ]

Поскольку (\sin(-x) = -\sin(x)), то:

[ \sin \left( -\frac{5\pi}{9} \right) < 0 ]

Итог

Итак, знаки тригонометрических функций на заданных углах следующие:

1. (\sin 2 > 0)
2. (\cos \frac{14\pi}{11} < 0)
3. (\cos 6 > 0)
4. (\sin \left( -\frac{5\pi}{9} \right) < 0)

а) sin 2: чтобы определить знак синуса угла 2 радиан, нужно знать, в какой четверти находится этот угол. Угол 2 радиан находится в первой четверти, где значение синуса положительно. Следовательно, sin 2 > 0.

б) cos 14π/11: угол 14π/11 находится в третьей четверти, где значение косинуса отрицательно. Следовательно, cos 14π/11 < 0.

в) cos 6: угол 6 находится в первой четверти, где значение косинуса положительно. Следовательно, cos 6 > 0.

г) sin (-5π/9): угол -5π/9 находится в четвертой четверти, где значение синуса отрицательно. Следовательно, sin (-5π/9) < 0.