Окружность задана уравнением x2+y2-8x+2y+16=0 Найдите координаты центра и радиус окружности. Принадлежит...

Для начала приведем уравнение окружности к стандартному виду: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус.

Раскроем квадраты и преобразуем исходное уравнение: x^2 - 8x + y^2 + 2y + 16 = 0 x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 1 (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1

Таким образом, центр окружности находится в точке (4, -1), а радиус равен 1.

Теперь проверим, принадлежит ли точка A(1;4) данной окружности: Подставим координаты точки в уравнение окружности: (1 - 4)^2 + (4 + 1)^2 = (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34

Так как 34 ≠ 1 (радиус окружности), то точка A(1;4) не принадлежит данной окружности.

Для того чтобы найти координаты центра и радиус окружности, приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности ((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2), где ((a, b)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус.

Исходное уравнение: [ x^2 + y^2 - 8x + 2y + 16 = 0 ]

1. Приведем уравнение к стандартному виду, для этого сгруппируем и дополним квадраты: [ x^2 - 8x + y^2 + 2y + 16 = 0 ]

   Дополним квадрат для (x): [ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 ]

   Дополним квадрат для (y): [ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 ]

   Подставляем обратно и перегруппируем: [ (x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 + 16 = 0 ] [ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 - 1 = 0 ]

2. Упростим уравнение, перенося -1 в правую сторону: [ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1 ]

Из этого уравнения видно, что:

• Координаты центра окружности ((a, b)) равны ((4, -1)).
• Радиус окружности (r) равен (\sqrt{1} = 1).

Теперь проверим, принадлежит ли точка (A(1; 4)) данной окружности. Подставим координаты точки в уравнение окружности: [ (1 - 4)^2 + (4 + 1)^2 = (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 ]

Так как (34) не равно (1), точка (A(1; 4)) не принадлежит окружности.

Итак, координаты центра окружности: ((4, -1)), радиус: (1). Точка (A(1; 4)) не принадлежит данной окружности.

Координаты центра окружности: (4, -1), радиус: 3. Точка A(1;4) не принадлежит данной окружности.