Обратная функция y=(x-1)^2

Для того чтобы найти обратную функцию к функции y = (x-1)^2, нужно поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y.

Итак, у нас есть уравнение y = (x-1)^2. Меняем местами x и y: x = (y-1)^2. Теперь решим это уравнение относительно y.

√x = y-1 y = √x + 1

Таким образом, обратная функция к y = (x-1)^2 равна y = √x + 1.

Чтобы найти обратную функцию для заданной функции ( y = (x-1)^2 ), нужно следовать нескольким шагам. Однако важно отметить, что не для всех функций возможно найти обратную функцию в традиционном смысле. Рассмотрим процесс более подробно:

1. Определение функции: Исходная функция ( y = (x-1)^2 ) представляет собой параболу с вершиной в точке ((1, 0)), которая открывается вверх. Поскольку парабола является симметричной относительно вертикальной линии, она не проходит горизонтальный тест линии, что означает, что она не является обратимой на всей области определения.

2. Ограничение области определения: Чтобы сделать функцию обратимой, ограничим её область определения. Например, рассмотрим только ( x \geq 1 ). В этом случае функция становится монотонной (неубывающей) и, следовательно, обратимой на этом промежутке.

3. Нахождение обратной функции: Исходя из ограниченной области определения, мы можем найти обратную функцию. Для этого поменяем местами ( x ) и ( y ) в уравнении и решим относительно ( y ): [ x = (y - 1)^2 ]

   Теперь выразим ( y ): [ \sqrt{x} = y - 1 ] [ y = \sqrt{x} + 1 ]

   Таким образом, для ( x \geq 0 ) (поскольку мы берем квадратный корень, что требует неотрицательных значений), обратная функция будет [ f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1 ]

4. Проверка обратной функции: Чтобы проверить, что найденная функция действительно является обратной, подставим её в исходное уравнение и убедимся, что она возвращает исходные значения:

   Подставим в ( y = (x-1)^2 ): [ f(f^{-1}(x)) = \left((\sqrt{x} + 1) - 1\right)^2 = (\sqrt{x})^2 = x ]

   Подставим в обратную функцию: [ f^{-1}(f(y)) = \sqrt{(y-1)^2} + 1 = |y-1| + 1 ] Здесь мы видим, что для ( y \geq 1 ) получаем ( y = \sqrt{(y-1)^2} + 1 ), что соответствует ограничению области определения на исходной функции.

Таким образом, обратная функция для ( y = (x-1)^2 ) на ограниченной области определения ( x \geq 1 ) будет ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1 ), и она определена для ( x \geq 0 ).