Объясните пожалуйста (log₂48)/(3+log₂6)

Чтобы разобраться с выражением (\frac{\log_2 48}{3 + \log_2 6}), нужно использовать некоторые свойства логарифмов. Давайте разберём это шаг за шагом.

Шаг 1: Разложение чисел на простые множители

Сначала разложим числа 48 и 6 на простые множители:

• (48 = 2^4 \times 3)
• (6 = 2 \times 3)

Шаг 2: Применение свойств логарифмов

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражения:

1. Логарифм произведения: (\log_b (mn) = \log_b m + \log_b n)

   Применим это к (\log_2 48):

   [ \log_2 48 = \log_2 (2^4 \times 3) = \log_2 (2^4) + \log_2 3 ]

2. Логарифм степени: (\log_b (a^n) = n \cdot \log_b a)

   Применим это к (\log_2 (2^4)):

   [ \log_2 (2^4) = 4 \cdot \log_2 2 = 4 ]

   Таким образом,

   [ \log_2 48 = 4 + \log_2 3 ]

Теперь упростим (\log_2 6):

[ \log_2 6 = \log_2 (2 \times 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 ]

Шаг 3: Подставим обратно в исходное выражение

Теперь подставим упрощённые выражения обратно:

[ \frac{\log_2 48}{3 + \log_2 6} = \frac{4 + \log_2 3}{3 + (1 + \log_2 3)} ]

Упростим знаменатель:

[ 3 + 1 + \log_2 3 = 4 + \log_2 3 ]

Теперь наше выражение выглядит так:

[ \frac{4 + \log_2 3}{4 + \log_2 3} ]

Шаг 4: Упрощение выражения

Любое выражение вида (\frac{a}{a}), где (a \neq 0), равно 1. Следовательно,

[ \frac{4 + \log_2 3}{4 + \log_2 3} = 1 ]

Таким образом, значение выражения (\frac{\log_2 48}{3 + \log_2 6}) равно 1.

Для того чтобы решить данное выражение, нам нужно воспользоваться свойствами логарифмов. Первым шагом мы можем упростить дробь в знаменателе, преобразовав ее к виду log₂(6³), так как 3+log₂6 = log₂(2³6) = log₂(48). Таким образом, исходное выражение примет вид log₂48 / log₂(6³). Далее, используя свойство логарифмов logₐb = logc(b) / logc(a), мы можем переписать это выражение как log₆(48) / log₆(6³). Теперь мы видим, что логарифмы имеют одну и ту же основу, поэтому мы можем применить другое свойство логарифмов, а именно logₐ(b^c) = c logₐ(b). Поэтому log₆(48) / log₆(6³) = log₆(48) / 3 log₆(6). Далее, мы можем упростить это выражение, заметив, что log₆(48) = log₆(6³2) = log₆(6³) + log₆(2) = 3 + log₆(2), а также log₆(6) = 1. Подставляя это в наше выражение, получаем (3 + log₆(2)) / 3, что дает нам окончательный ответ: 1 + log₆(2) / 3.