Объясните пожалуйста, как решать: в каких точках касательная к графику функции f(x) = х³ /3 - 5х²/2...

Чтобы определить, в каких точках касательная к графику функции ( f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4 ) образует с осью абсцисс угол 45 градусов, нужно следовать следующим шагам:

1. Понимание касательной и угла наклона:

   Касательная к графику функции в точке ( x = a ) имеет угол наклона, который определяется производной функции в этой точке. Если угол наклона касательной равен 45 градусов, то тангенс этого угла равен 1. Это условие можно записать как: [ f'(a) = 1 ]

2. Найти производную функции:

   Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4\right) ] Рассчитаем каждое слагаемое отдельно:

   • Производная от ( \frac{x^3}{3} ) равна ( x^2 ).
   • Производная от ( -\frac{5x^2}{2} ) равна ( -5x ).
   • Производная от ( 7x ) равна ( 7 ).
   • Производная от константы (-4) равна ( 0 ).

   Следовательно, производная функции: [ f'(x) = x^2 - 5x + 7 ]

3. Решить уравнение для нахождения ( a ):

   Теперь решим уравнение ( f'(a) = 1 ): [ a^2 - 5a + 7 = 1 ] Упростим это уравнение: [ a^2 - 5a + 6 = 0 ]

4. Найти корни квадратного уравнения:

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 6 ).

   Подставляем значения: [ a = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} ] [ a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} ] [ a = \frac{5 \pm 1}{2} ]

   Таким образом, получаем два корня: [ a_1 = \frac{6}{2} = 3 ] [ a_2 = \frac{4}{2} = 2 ]

5. Ответ:

   Касательная к графику функции ( f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 7x - 4 ) образует с осью ( Ox ) угол 45 градусов в точках ( x = 2 ) и ( x = 3 ).

Для того чтобы найти точки, в которых касательная к графику функции образует угол 45 градусов с осью Ox, нужно использовать свойство производной функции. Угол между касательной и осью Ox равен углу наклона касательной, который определяется производной функции в данной точке.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = (3/3)x^2 - (5*2/2)x + 7 = x^2 - 5x + 7

Далее найдем угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке x: tg(α) = f'(x) tg(α) = x^2 - 5x + 7

Угол наклона касательной к графику функции определяется по формуле tg(α) = k, где k - коэффициент наклона. Для угла 45 градусов tg(45°) = 1.

Подставляем tg(α) = 1 в уравнение x^2 - 5x + 7 = 1: x^2 - 5x + 6 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим корни: x1 = 2 x2 = 3

Таким образом, касательная к графику функции f(x) = x³/3 - 5x²/2 + 7x - 4 образует угол 45 градусов с осью Ox в точках x1 = 2 и x2 = 3.

Для того чтобы касательная к графику функции f(x) образовывала угол 45 градусов с осью Ох, необходимо, чтобы её наклон был равен тангенсу 45 градусов, то есть 1. Наклон касательной в точке x находится как производная функции f(x) в этой точке, то есть f'(x). Таким образом, необходимо решить уравнение f'(x) = 1.